Решения 7 класса (город 2004)

Подробности
Обновлено 30.10.2013 11:20

Решения задач городского тура 2004 года для 7 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

Обозначим скорость Лисы $u$, скорость коня Младшего Брата $v$, время, за которое Младший Брат оседлал коня, $T$.

Пока Младший Брат седлал коня, Лиса убежала на расстояние $uT$. Найдем время $t_1$, которое Младший Брат провел на коне: $$vt_1-ut_1 = uT,$$ $$t_1 = \frac{uT}{v-u}.$$

Аналогичное время для Старшего Брата найдем, заменив $v$ на $2v$ и $T$ на $2T$: $$t_2 = \frac{2uT}{2v-u},$$ $$t_2 = \frac{uT}{v-u/2}.$$

Видно, что $t_1 > t_2$, то есть Младший Брат провел больше времени на коне.

Задача 2.

Перерисуем график в осях "м/с, с". После этого преобразования шкала времени умножится на 60.

Так как движение на каждом из участков равномерное (по графику) и прямолинейное (по условию), то зависимость координаты от времени - линейная. Построим эту зависимость.

В нулевой момент времени оба спортсмена находятся на линии старта - нулевой отметке. После 120 секунд бега 1-й спортсмен пробежал 600 метров, 2-й - 360 метров. Отметим эти точки на графике и соединим их с нулем прямой линией. Аналогично поступим со вторым и третьим этапом бега. В результате получим ломаные линии - график зависимости пройденного спортсменами расстояния от времени.

Очевидно, что спортсмены поравняются тогда, когда эти ломаные пересекутся (разумеется, после точки (0,0)). По графику нетрудно увидеть, что в этой точке время равно 200 секундам.

Задача 3.

Рассмотрим сначала случай, когда на столе лежит кубик из пластилина. Пусть его масса - m, площадь - S, длина ребра - а. В этом случае давление равно:

Пусть теперь на пластилиновый кубик положили стальной. Масса пластилинового кубика не изменилась, масса стального равна mсталь = 27rстальa3g. Таким образом, давление, оказываемое на стол, равно

Задача 4.

В момент, когда нить рвется, цилиндр еще находится в состоянии равновесия. Запишем условие равенства сил, действующих на цилиндр. Пусть Т - сила натяжения, m - масса цилиндра, H - высота цилиндра, h - высота его погруженной части, S - площадь его сечения. Тогда: T = mg - rgV = rтSHg - rвShg = gS(rтH - rвh). Это уравнение верно для всех трех планет (разумеется, вместо g и h надо подставить соответствующие значения этих величин на планетах).

Так как по условию нить рвется при одной и той же силе натяжения, то можно приравнять силы на Земле и Луне. Путем несложных алгебраических преобразований получим: .

Теперь напишем выражение для силы на Марсе и приравняем эту силу к силе натяжения нити на Земле (или Луне):

Задача 5.

Пусть х1 - координата первой белки, х2 - координата второй белки, a - количество воды, набираемое за одну секунду, k - жесткость пружины. Так как сумма сил, действующих на чашку, равна нулю (чашка движется равномерно), получаем: k(x1-vчашкиt) = k(x2+vчашкиt)+atg. Но x1 = v1t, x2 = v2t => x1+x2 = (v1+v2)t. Из этих двух уравнений получаем: , vчашки = 0.95 см/с.

Задача 6.

    1. Пусть Вася прошел полный круг по дорожке. Так как скорость Закусая относительно Васи равна скорости Васи, за это же время Закусай относительно Васи должен пройти такое же расстояние.
    2. Пройденное ими расстояние — $2 \pi R$. Один оборот Закусая относительно Васи $2 \pi r$. Следовательно, Закусай сделает вокруг Васи $R/r$ оборотов.
    3. Пусть Вася двигается по часовой стрелке, а Закусай бегает в том же (противоположном) направлении. Закусай будет гавкать каждый раз, когда оказывается на радиусе, соединяющем Васю и елку с внутренней (внешней) стороны (см. рис.). Так как Закусай гавкнул в первый момент, в начале движения Васи он как раз находился в такой точке.
  1. Из рисунка видно, что Закусай будет гавкать, перебегая (не добегая) до полного оборота угол, равный пройденному Васей от точки начала движения.
  2. Таким образом, когда Вася пройдет полный оборот, Закусай сделает на один "гавк" меньше (больше), чем оборотов. Т.е. он гавкнет $(R/r)-1$ ($(R/r) + 1$) раз, т.е. 3 или 5 раз.

Задача 7.

Пусть длина размотанной части нити равна L. Разобьем процедуру погружения на три части. Сначала кубик погружают так, что глубина не превосходит а (а - ребро кубика). Так как зависимость плотности от глубины линейна, то можно ввести "среднюю плотность", т.е. заменить слой жидкости с переменной плотностью, в который погружен кубик, на слой жидкости с некоторой средней плотностью, равной . Заметим, что сила Архимеда в жидкости с такой плотностью равна силе Архимеда, действующей на кубик со стороны жидкости с первоначальным распределением плотности. Эта выталкивающая сила равна:

Затем кубик погружают так, что объем его погруженной части не меняется. Средняя плотность в этом случае вводится по формуле .

Сила натяжения в этом случае равна .

Когда нижняя грань кубика окажется на глубине 40 см, плотность кубика станет равна средней плотности жидкости, и кубик перестанет тонуть. При этом сила натяжения нити станет равна 0 и при дальнейшем сматывании нити изменяться не будет - нить просто будет провисать.