Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 7 класса (район 2012)

Подробности

Обновлено 01.05.2013 11:44

Решения задач районного тура олимпиады 2011/2012 года для 7 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Так как скорости муравьев равны, то первым до цели добежит муравей, которого путь короче.

Путь, пройденный по граням куба равен сумме путей пройденных по каждой грани отдельно.

Можно сделать развертку куба и изобразить траектории движения муравьев на этой развертке.

Если развертка не делается, то делаются какие-то рассуждения (доказательства), что траекторию второго муравья можно представить в виде прямой.

Траектории муравьев на развертке куба образуют треугольник. В треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей. (Возможно построение в масштабе и прямое измерение путей муравьев.)

Правильный ответ. Второй муравей прибежит быстрее.

Задача 2.

Перевод всех данных в систему Си:

• $M$ = 5 т = 5000 кг
• $m_1$ = 100 г = 0,1 кг
• $V_1$ = 10 л = 0,01 м$^3$
• $V_2$ = 5 л = 0,005 м$^3$

Чтобы понадобилось как можно меньше фур, должно соблюдаться два условия: фуры должны быть максимально загружены по объему и массе.

Общая масса товара 24976,5 кг

Общий объем товара 49,95 м$^3$

По массе и по объему нужно, как минимум 5 фур

В каждой фуре должно быть одинаковое количество товара.

Разделим массу всех гирь и всех подушек на 5 и получим возможную массу гирь в одной фуре 4920 кг и подушек 75,3 кг.

Это соответствует 492 гирям и 753 подушкам.

Проверим, влезает ли такое количество гирь и подушек в одну фуру по объему.

Объем 492 гирь равен 2,46 м$^3$.

Объем 753 подушек равен 7,53 м$^3$

Таким образом, общий объем подушек и гирь в одной машине 9,99 м$^3$, что меньше объема, который помещается в одну фуру.

Ответ: для перевозки груза необходимо 5 фур

Задача 3.

Ученик сделал следующие операции. Он посчитал количество ударов пульса за 10 секунд и умножил их на 6.

Фактически он насчитал 20 ударов, что соответствует 2 ударам в секунду. То есть один удар за 0,5 секунды

Погрешность измерения времени 0,5 секунды.

При умножении на 6, погрешность измерения увеличивается в 6 раз. Таким образом, общая погрешность при измерении времени составляет 3 секунды.

За 3 секунды происходят 6 ударов пульса.

То есть погрешность измерения пульса 6 ударов.

Альтернативное решение

Можно рассмотреть, как удары пульса расположены в интервале от 0 до 10 сек (например, графически).

Если пульс 115 ударов/мин, то когда первый удар приходится на самое начало интервала (например, в момент 0.01 сек) то всего в интервал попадет 20 ударов. В случае пульса 114 ударов/мин такое невозможно.

Аналогично, при пульсе 125 ударов/мин также возможно насчитать 20 ударов, если удар пульса приходится на момент прямо перед началом отсчета (например, в момент –0.01 сек). В случае пульса 126 ударов/мин такое невозможно.

Погрешность измерения пульса равна 5 ударов/мин. Этот ответ также можно считать верным.

Задача 4.

Перевод всех данных в систему СИ:

• $V$ = 18 км/час = 5 м/с
• $U$ = 3,6 км/час = 1 м/с

График строится исходя из следующих расчетов:

Относительно баржи боцман от кормы к носу идет 40 с и проходит 40 метров. За это время баржа проходит 200 м. Таким образом, относительно берега боцман по ходу движения баржи проходит 240 метров.

Затем он поворачивает и движется поперек хода баржи 10 с, проходя относительно баржи 10 м. За это время баржа проходит 50 м. Откладываем на графике в масштабе 10 м поперек движения баржи и 50 м вдоль ее движения и находим точку, где окажется боцман, когда дойдет до следующего угла груза.

После этого он движется от носа к корме в течении 40 с, снова проходя относительно баржи 40 м, а баржа за это время проходит 200 м. Таким образом относительно берега боцман перемещается на 160 м по направлению движения баржи.

Затем он поворачивает и движется поперек хода баржи 10 с, проходя относительно баржи 10 м. За это время баржа проходит 50 м. Откладываем на графике в масштабе 10 м поперек движения баржи и 50 м вдоль ее движения и находим точку, где окажется боцман, когда дойдет до места откуда он начал свое движение.

Относительно баржи боцман двигался по сторонам прямоугольника, который образует груз и его путь равен периметру данного прямоугольника – 100 м.

Путь, который прошел боцман относительно берега, равен длине построенного графика траектории движения и может быть измерен с помощью линейки. Общая длина графика примерно 502 м.

Задача 5.

Вес статуэтки определяется ее массой, таким образом, вопрос задачи можно переформулировать: во сколько раз плотность материала, из которого будет сделана вторая статуэтка, должна отличаться от плотности материала первой, чтобы обе фигурки имели одинаковую массу.

Масса первой статуэтки равна: $m = V\rho_1$

Так как все линейные размеры статуэтки увеличились в 2 раза, ее объем увеличился в 8 раз.

Масса второй статуэтки равна: $m = 8V\rho_2$

Приравняем массы $V\rho_1 = 8V\rho_2$

Получим ответ $\rho_2 = \rho_1/8$

II вариант

Задача 1.

Так как скорости муравьев равны, то первым до цели добежит муравей, которого путь короче.

Путь, пройденный по граням куба равен сумме путей пройденных по каждой грани отдельно.

Можно сделать развертку куба и изобразить траектории движения муравьев на этой развертке.

Траектории муравьев на развертке куба образуют треугольник. В треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей. (Возможно построение в масштабе и прямое измерение путей муравьев.)

Правильный ответ. Первый муравей прибежит быстрее.

Задача 2.

Перевод всех данных в систему Си:

• $M$ = 5 т = 5000 кг
• $m_1$ = 200 г = 0,2 кг
• $V_1$ = 10 л = 0,01 м$^3$
• $V_2$ = 4 л = 0,004 м$^3$

Чтобы понадобилось как можно меньше фур, должно соблюдаться два условия: фуры должны быть максимально загружены по объему и массе.

Общая масса товара 24879 кг

Общий объем товара 49,95 м$^3$

По массе и по объему нужно, как минимум 5 фур

В каждой фуре должно быть одинаковое количество товара.

Разделим массу всех гирь и всех подушек на 5 и получим возможную массу гирь в одной фуре 4800 кг и подушек 175,8 кг.

Это соответствует 300 гирям и 879 подушкам.

Проверим, влезает ли такое количество гирь и подушек в одну фуру по объему.

Объем 300 гирь равен 1,2 м$^3$.

Объем 879 подушек равен 8,79 м$^3$

Таким образом, общий объем подушек и гирь в одной машине 9,99 м$^3$, что меньше объема, который помещается в одну фуру.

Ответ: для перевозки груза необходимо 5 фур

Задача 3.

Ученик сделал следующие операции. Он посчитал количество ударов пульса за 20 секунд и умножил их на 3.

Фактически он насчитал 40 ударов, что соответствует 2 ударам в секунду. То есть один удар за 0,5 секунды

Погрешность измерения времени 0,5 секунды.

При умножении на 3, погрешность измерения увеличивается в 3 раза. Таким образом, общая погрешность при измерении времени составляет 1,5 секунды.

За 1,5 секунды происходит 3 удара пульса.

То есть погрешность измерения пульса 3 удара.

Альтернативное решение

Можно рассмотреть, как удары пульса расположены в интервале от 0 до 20 сек (например, графически).

Если пульс 118 ударов/мин, то когда первый удар приходится на самое начало интервала (например, в момент 0.01 сек) то всего в интервал попадет 40 ударов. В случае пульса 117 ударов/мин такое невозможно.

Аналогично, при пульсе 122 ударов/мин также возможно насчитать 40 ударов, если удар пульса приходится на момент прямо перед началом отсчета (например, в момент  0.01 сек). В случае пульса 123 ударов/мин такое невозможно.

Погрешность измерения пульса равна 2 удара/мин. Этот ответ также можно считать верным.

Задача 4.

Перевод всех данных в систему СИ:

• $V$ = 18 км/час = 5 м/с
• $U$ = 3,6 км/час = 1 м/с

График строится исходя из следующих расчетов:

Сначала боцман идет поперек баржи и относительно проходит 10 метров за 10 секунд. За это время баржа проходит 50 м. Откладываем на графике в масштабе 10 м поперек движения баржи и 50 м вдоль ее движения и находим точку, где окажется боцман, когда дойдет до угла груза.

Затем он поворачивает и движется вдоль баржи от кормы к носу. На это передвижение он затрачивает 40 с и проходит относительно баржи 40 м. За это время сама баржа проходит 200 м. Таким образом, боцман относительно берега переместился по ходу движения баржи на 240 м.

Затем он поворачивает и движется поперек хода баржи 10 с, проходя относительно баржи 10 м. За это время баржа проходит 50 м. Откладываем на графике в масштабе 10 м поперек движения баржи и 50 м вдоль ее движения и находим точку, где окажется боцман, когда дойдет до следующего угла.

После этого он движется от носа к корме в течении 40 с, снова проходя относительно баржи 40 м, а баржа за это время проходит 200 м. Таким образом относительно берега боцман перемещается на 160 м по направлению движения баржи.

Относительно баржи боцман двигался по сторонам прямоугольника, который образует груз и его путь равен периметру данного прямоугольника – 100 м.

Путь, который прошел боцман относительно берега, равен длине построенного графика траектории движения и может быть измерен с помощью линейки. Общая длина графика примерно 502 м.

Задача 5.

Вес статуэтки определяется ее массой, таким образом, вопрос задачи можно переформулировать: во сколько раз плотность материала, из которого будет сделана вторая статуэтка, должна отличаться от плотности материала первой, чтобы обе фигурки имели одинаковую массу.

Масса первой статуэтки равна: $m = V\rho_1$

Так как все линейные размеры статуэтки уменьшили в 3 раза, ее объем уменьшился в 27 раз.

Масса второй статуэтки равна: $m = V\rho_2/27$

Приравняем массы $V\rho_1 = V\rho_2/27$

Получим ответ $\rho_2 = 27\rho_1$