Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 8 класса (район 2008)

Подробности

Обновлено 28.03.2013 22:33

Решения задач районного тура олимпиады 2008 года для 8 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

I вариант

Задача 1.

Пусть T₁, T₂, T₃ - исходные температуры в стаканах, T_a, T_b - температуры в третьем стакане в конце первого и второго экспериментов соответственно. Каждый раз, когда в стакан, заполненый наполовину водой с температурой T_I, наливают еще полстакана воды температуры T_II, в нем устанавливается температура воды T = (T_I + T_II)/2. Таким образом в первом опыте конечная температура воды в третьем стакане будет равна

А во втором:

T_a − T_b = (T₃ − T₁)/4 = 12°C/4 = 3°C

Ответ: на 3°C.

Задача 2.

За первые t₁ − t₀ = 10 c расстояние между жуками уменьшилось с s₀ = 20 м до s₁ = 5 м, поэтому изначально они бежали навстречу друг другу и возможны два варианта:

1. К моменту t₁ они успели встретиться и теперь бегут в разные стороны. Тогда их относительная скорость равна = 25 м / 10 с = 2,5 м/с. Ещё через t₂ − t₁ = 10 c расстояние между ними возрастет на v(t₂ − t₁) = 25 м, поэтому s₂ = s₁ + v(t₂ - t₁) = 5 м + 25 м = 30 м.
2. К моменту t₁ они не успели встретиться и продолжают бежать навстречу друг другу. В таком случае их относительная скорость равна = 15 м / 10 с = 1,5 м/с. Ещё через t₂ − t₁ = 10 c они переместятся друг относительно друга на v(t₂ − t₁) = 15 м, что больше, чем s₁ = 5 м. Таким образом к моменту t₂ = 20 с они уже встретятся и расстояние между ними будет равным s₂ = v(t₂ − t₁) − s₁ = 15 м − 5 м = 10 м.

Ответ: s₂ = 30 м или s₂ = 10 м.

Задача 3.

Предоложим, свободный конец веревки сместили вниз на длину x, совершив работу A = F · x. Центр цилиндра при этом переместится на расстояние l вдоль наклонной плоскости и поднимется на некоторую высоту h. Смещение свободного конца веревки складывается из: 1) перемещения самого цилиндра, равного l и 2) удлинения веревки, за счет того, что она отматывается от цилиндра, также на длину l. Таким образом x = l + l = 2l. Из подобия треугольников легко заключить, что H/L = h/l ⇒ h = Hl/L. Совершенная работа должна равняться увеличению потенциальной энергии равному ΔU = mgh, поэтому

F · x = F · 2l = mg · Hl/L ⇒ F = mgH/2L

Ответ: F = mgH/2L

Задача 4.

Пусть масса грузила равна M, его высота - H, а плотность - ρ. Тогда M = ρHS. Сила натяжения веревки F по величине равна результирующей остальных сил, действующих на груз: силы тяжести F_Т = Mg = ρHSg и силы Архимеда F_А = ρV_погр.g (где V_погр. - объем погруженной части).

F = F_Т − F_А

F_Т всегда постоянна. F_А меняется до тех пор, пока грузило не опустится в воду полностью. (До этого V_погр. = hS, после - V_погр. = HS = Const). Исходя из графика, F постоянна при h > 5 см. Отсюда H = 5 см. При h = 0 F_А = 0, поэтому F = F_Т = ρHSg. Из графика - F = 0,5 Н при h = 0. Поэтому

= 5000 кг/м³

Ответ: H = 5 см, ρ = 5000 кг/м³

Задача 5.

Пусть F' - cила натяжения левой веревки. Согласно правилу рычага F' · l₁ = F · l₂. Давление под обоими поршнями должно быть одинаково, обозначим его за p. На левый поршень действуют вниз: сила атмосферного давления со стороны воздуха p_AS₁, сила Mg со стороны груза, а вверх: сила давления pS₁ со стороны воды и сила F' со стороны веревки. Так как поршень неподвижен, эти силы компенсируют друг друга:

p_AS₁ + Mg = pS₁ + F' (1)

На правый поршень действуют вниз: сила атмосферного давления со стороны воздуха p_AS₂, сила N со стороны гнома, а вверх - сила давления pS₂ со стороны воды. На гнома, помимо силы N со стороны поршня, действует вниз сила тяжести Mg и тянет вверх сила F со стороны веревки. Гном сам находится в равновесии, поэтому N + F = Mg. Таким образом из условия равновесия поршня следует

p_AS₂ + (Mg − F) = pS₂ (2)

Из (1) и (2) следует:

(Mg − F')/S₁ = (Mg − F)/S₂

Mg − Fl₂/l₁ = (Mg − F)S₁/S₂

Ответ: F = 1 Н

Задача 6.

Пусть объем сухих шариков равен ΔV. Тогда их масса равна ρ₁ΔV. Так как они пропитываются молоком не сразу, то увеличение уровня молока (V₂ − V₁) совпадает с объемом погрузившихся в него шариков V_погр.. Сила Архимеда, действующая на совокупность шариков, компенсирует их суммарную силу тяжести, поэтому ρ₀V_погр.g = ρ₁ΔVg. Отсюда:

ΔVρ₁ = (V₂ − V₁)ρ₀ (1)

Пусть, по прошествии достаточного времени, в шарики впиталось ΔV' молока, т.е. молоко массой ρ₀ΔV'. Объем шариков при этом не изменился, а плотность стала равной ρ₀. Следовательно, их масса стала равной ρ₀ΔV. Масса пропитавшихся шариков равна сумме масс сухих шариков и впитавшегося в них молока, то есть

ρ₁ΔV + ρ₀ΔV' = ρ₀ΔV ⇒ ΔV' = ΔV(1 − ρ₁/ρ₀) (2)

Объем оставшегося молока равен V₁ − ΔV', и, по условию, он должен совпадать с объемом шариков ΔV:

V₁ − ΔV' = ΔV

Используя (2), получаем:

V₁ − ΔV(1 − ρ₁/ρ₀) = ΔV ⇒

Применяя уравнение (1), находим:

Ответ: V₂ = 0,4 л

II вариант

Задача 1.

Пусть T₁, T₂, T₃ - исходные температуры в стаканах, T_a, T_b - температуры в третьем стакане в конце первого и второго экспериментов соответственно. Каждый раз, когда в стакан, заполненый наполовину водой с температурой T_I, наливают еще полстакана воды температуры T_II, в нем устанавливается температура воды T = (T_I + T_II)/2. Таким образом в первом опыте конечная температура воды в третьем стакане будет равна

А во втором:

T_b − T_a = (T₁ − T₃)/4

Про исходные температуры в стаканах известна только разность температур (T₂ − T₃), разность (T₁ − T₃) при этом может быть произвольной.

Ответ: из данных задачи искомая величина (T_b − T_a) не определяется.

Задача 2.

За первые t₁ − t₀ = 5 c расстояние между жуками уменьшилось с s₀ = 15 м до s₁ = 5 м, поэтому изначально они бежали навстречу друг другу и возможны два варианта:

1. К моменту t₁ они успели встретиться и теперь бегут в разные стороны. Тогда их относительная скорость равна = 20 м / 5 с = 4 м/с. Ещё через t₂ − t₁ = 10 c расстояние между ними возрастет на v(t₂ − t₁) = 40 м, поэтому s₂ = s₁ + v(t₂ - t₁) = 5 м + 40 м = 45 м.
2. К моменту t₁ они не успели встретиться и продолжают бежать навстречу друг другу. В таком случае их относительная скорость равна = 10 м / 5 с = 2 м/с. Ещё через t₂ − t₁ = 10 c они переместятся друг относительно друга на v(t₂ − t₁) = 20 м, что больше, чем s₁ = 5 м. Таким образом к моменту t₂ = 15 с они уже встретятся и расстояние между ними будет равным s₂ = v(t₂ − t₁) − s₁ = 20 м − 5 м = 15 м.

Ответ: s₂ = 45 м или s₂ = 15 м.

Задача 3.

Предоложим, свободный конец веревки сместили вниз на длину x, совершив работу A = F · x. Центр цилиндра при этом переместится на расстояние l вдоль наклонной плоскости и поднимется на некоторую высоту h. Смещение свободного конца веревки складывается из: 1) перемещения самого цилиндра, равного l и 2) удлинения веревки, за счет того, что она отматывается от цилиндра, также на длину l. Таким образом x = l + l = 2l. Из подобия треугольников легко заключить, что H/L = h/l ⇒ h = Hl/L. Совершенная работа должна равняться увеличению потенциальной энергии равному ΔU = mgh, поэтому

F · x = F · 2l = mg · Hl/L ⇒ m = 2FL/gH

Ответ: m = 2FL/gH

Задача 4.

Пусть масса грузила равна M, его высота - H, а плотность - ρ. Тогда M = ρHS. Сила натяжения веревки F по величине равна результирующей остальных сил, действующих на груз: силы тяжести F_Т = Mg = ρHSg и силы Архимеда F_А = ρV_погр.g (где V_погр. - объем погруженной части).

F = F_Т − F_А

F_Т всегда постоянна. F_А меняется до тех пор, пока грузило не опустится в воду полностью. (До этого V_погр. = hS, после - V_погр. = HS = Const). Исходя из графика, F постоянна при h > 10 см. Отсюда H = 10 см. При h = 0 F_А = 0, поэтому F = F_Т = ρHSg. Из графика - F = 0,6 Н при h = 0. Поэтому

= 10⁻⁴ м² = 1 см²

Ответ: H = 10 см, S = 1 см²

Задача 5.

Пусть F' - cила натяжения правой веревки. Согласно правилу рычага F' · l₂ = F · l₁. Давление под обоими поршнями должно быть одинаково, обозначим его за p. На праый поршень действуют вниз: сила атмосферного давления со стороны воздуха p_AS₂, сила Mg со стороны груза, а вверх: сила давления pS₂ со стороны воды и сила F' со стороны веревки. Так как поршень неподвижен, эти силы компенсируют друг друга:

p_AS₂ + Mg = pS₂ + F' (1)

На левый поршень действуют вниз: сила атмосферного давления со стороны воздуха p_AS₁, сила N со стороны гнома, а вверх - сила давления pS₁ со стороны воды. На гнома, помимо силы N со стороны поршня, действует вниз сила тяжести Mg и тянет вверх сила F со стороны веревки. Гном сам находится в равновесии, поэтому N + F = Mg. Таким образом из условия равновесия поршня следует

p_AS₁ + (Mg − F) = pS₁ (2)

Из (1) и (2) следует:

(Mg − F')/S₂ = (Mg − F)/S₁

Mg − Fl₁/l₂ = (Mg − F)S₂/S₁

Ответ: F = 2 Н

Задача 6.

Пусть объем сухих шариков равен ΔV. Тогда их масса равна ρ₁ΔV. Так как они пропитываются молоком не сразу, то увеличение уровня молока (V₂ − V₁) совпадает с объемом погрузившихся в него шариков V_погр.. Сила Архимеда, действующая на совокупность шариков, компенсирует их суммарную силу тяжести, поэтому ρ₀V_погр.g = ρ₁ΔVg. Отсюда:

ΔVρ₁ = (V₂ − V₁)ρ₀ (1)

Пусть, по прошествии достаточного времени, в шарики впиталось ΔV' молока, т.е. молоко массой ρ₀ΔV'. Объем шариков при этом не изменился, а плотность стала равной ρ₀. Следовательно, их масса стала равной ρ₀ΔV. Масса пропитавшихся шариков равна сумме масс сухих шариков и впитавшегося в них молока, то есть

ρ₁ΔV + ρ₀ΔV' = ρ₀ΔV ⇒ ΔV' = ΔV(1 − ρ₁/ρ₀) (2)

Объем оставшегося молока равен V₁ − ΔV', и, по условию, он должен совпадать с объемом шариков ΔV:

V₁ − ΔV' = ΔV

Используя (2), получаем:

V₁ − ΔV(1 − ρ₁/ρ₀) = ΔV ⇒

Применяя уравнение (1), находим:

⇒

Ответ: V₁ = 0,45 л