Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 10 класса (район 2008)

Подробности

Обновлено 28.03.2013 22:31

Решения задач районного тура олимпиады 2008 года для 10 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Обозначим скорость, с которой нарастает очередь, v_оч. Количество людей из потока, оказывающихся в очереди каждую единицу времени:

Q = Q₀ + Q' = (v_оч + v)Ln,

где n = Q/(vL) — количество людей в потоке, приходящееся на единицу площади коридора. На рисунке штриховкой показана та область коридора, для которой находящиеся в ней люди оказываются в очереди за время Δt.

Скорость прироста очереди определяется ростом количества людей, стоящих в ней. С одной стороны, это количество равно Q − Q₁, а с другой v_очqL. Приравнивая эти величины и используя выражение для n, получаем

(v_оч + v)Q/v − Q₁ = v_очqL

Отсюда находим скорость роста очереди:

Ответ: v_оч = 0,68 м/мин.

Задача 2.

Поскольку система находится в равновесии, сила натяжения нити, на которой подвешен нижний из блоков, равна половине суммарного веса груза и этого блока:

T₁ = (M + m)g/2 = mg + (M − m)g/2

Для второй нити сила натяжения будет равна полусумме веса блока и силы натяжения T₁:

T₂ = (T₁ + mg)/2 = mg + (M − m)g/2².

Аналогично и для остальных блоков. Для блока N (точка A), получаем:

Ответ: T_A = mg + (M − m)g/2^N.

Задача 3.

Если грузы не движутся друг относительно друга, то ускорения их равны. При этом ускорение верхнему грузу сообщает единственная сила: сила трения со стороны нижнего груза. Следовательно, проскальзывание начинается, когда значение силы, необходимой для того, чтобы сообщить верхнему грузу то же ускорение, что и у нижнего, превышает предельную величину силы трения.

Ускорение системе грузов сообщает сила упругости со стороны пружины, поэтому максимальное ускорение грузов (и максимальная величина силы трения) будет достигаться в момент наибольшего сжатия пружины.

Ускорение грузов в этот момент легко найти, рассмотрев движение системы грузов относительно коробки. Система отсчета, связанная с коробкой, неинерциальна, переход в нее эквивалентен введению постоянных по величине сил инерции, действующих на массивные тела аналогично силе тяжести. В этой системе при максимальном сжатии пружины кинетическая энергия грузов равна нулю, а совершенная силой инерции работа затрачивается на сжатие пружины:

3Max = kx²/2.

Следовательно, предельное сжатие пружины равно x = 6Ma/k. Ускорение системы грузов в лабораторной системе в этот момент определяется величиной силы упругости пружины:

a' = kx/3M = 2a.

Если верхний груз не проскальзывает относительно нижнего, предельная величина силы трения, сообщающей ему ускорение, должна превосходить 4Ma. Предельная величина силы трения покоя F_трmax = μ2Mg = 4Mg.

Отсюда условие проскальзывания F_трmax ≤ 4Ma и a ≥ g.

Ответ: a ≥ g.

Задача 4.

Уравнение теплового баланса для котелка с водой при его нагревании в течение промежутка времени Δt записывается в виде

(c₀m + C)ΔT = Q_{примуса} − Q_потерь = qμΔt − P̅_потерьΔt, (1)

где Q_{примуса} = qμΔt — тепло, выделяющееся при сгорании бензина; Q_потерь и P̅_потерь — соответственно тепло и средняя тепловая мощность, выделяющаяся в окружающую среду в течение времени Δt. Отсюда средняя мощность тепловых потерь:

P̅_потерь = qμ − (c₀m + C) ΔT/Δt

В пределе малых Δt средняя мощность переходит в тепловую мощность в данный момент времени, ΔT/Δt при этом переходит в тангенс угла наклона касательной к графику T(t) в указанный момент времени.

Выбрав на графике T(t) несколько точек (например, точки A, B, C), проводим касательные и, делая вычисления по формуле (2), строим таблицу и график P(t).

Рис.1: Касательные к графику T(t).

Ответ:

Задача 5.

В силу симметрии схемы величина тока одинакова в ребрах 1 и 1', 2 и 2', и т.д. Пользуясь этим, соединение в точке O можно разорвать, оставив соединенными только те ребра, протекающий по которым ток одинаков, и перерисовать схему.

Таким образом, схема разбивается на два одинаковых фрагмента, каждый из которых состоит из 502 одинаковых звеньев. Пользуясь тем, что количество звеньев велико, найдем сопротивление R' этих фрагментов.

Фрагменты эти представляют собой практически бесконечные цепочки, составленные из одинаковых звеньев, а потому сопротивление R' не изменится при добавлении еще одного звена. С другой стороны, это же сопротивление равно

.

Отсюда находим R' = R(1 + ) ≈ 3,24 Ом.

Сопротивление между диаметрально противоположными точками: ≈ 0,90 Ом.

Ответ: Сопротивление между диаметрально противоположными точками R₀ = 0,90 Ом.

II вариант

Задача 1.

Обозначим скорость, с которой нарастает очередь, v_оч. Количество людей из потока, оказывающихся в очереди каждую единицу времени:

Q = Q₀ − Q' = (v − v_оч)Ln,

где n = Q/(vL) — количество людей в потоке, приходящееся на единицу площади коридора. На рисунке светлой штриховкой показана та область коридора, для которой находящиеся в ней люди оказываются стоящими в очереди за время Δt.

Общее количество людей в очереди уменьшается за единицу времени на величину Q1 − Q = Q₁ − Q₀(1 − v_оч/v)

С другой стороны, то же изменение количества людей в очереди за единицу времени равно v_очLq, где q = 5 — количество людей, способных разместиться на 1 м² пола.

Приравнивая, получаем

Q₁ − Q₀(1 − v_оч/v) = v_очLq,

откуда

Подставляя численные значения, получаем ответ.

Ответ: Скорость, с которой двигается конец очереди v_оч = 0,68 м/мин.

Задача 2.

Обозначив массу груза M, получаем выражение, связывающее ее и натяжение нити в точке A (см. решение 1 варианта):

T_A = mg + (M − m)g/2^N

Отсюда выражаем массу груза величины, данные в задаче.

Ответ: M = 2^N(T_A/g − m) + m.

Задача 3.

Решение этой задачи в точности повторяет решение задачи первого варианта. Здесь также максимальное ускорение системы грузов a' = 2a, и ускорение верхнему грузу сообщается силой трения покоя, предельное значение которой равно F_трmax = μ3Mg = 6Mg. Отсюда, условие начала проскальзывания

3M2a ≥ 6Mg

a_{предельное} = g.

Ответ: a > g.

Задача 4.

Уравнение теплового баланса для котелка с водой при его нагревании в течение промежутка времени Δt записывается в виде

(c₀m + C)ΔT = Q_{примуса} − Q_потерь = qμΔt − P̅_потерьΔt, (3)

где Q_{примуса} = qμΔt — тепло, выделяющееся при сгорании бензина; Q_потерь и P̅_потерь — соответственно тепло и средняя тепловая мощность, выделяющаяся в окружающую среду в течение времени Δt. Отсюда изменение температуры воды и котелка за малый промежуток времени:

, (4)

В пределе малых Δt средняя мощность переходит в тепловую мощность в данный момент времени.

Для того, чтобы определить температуру для конечного промежутка времени, необходимо просуммировать такие вклады. Это дает

. (5)

Величина тепловых потерь, ∑P̅(t)Δt, численно оказывается равной площади под графиком P(t) на промежутке от t = 0 до t.

Выбрав на графике P(t) несколько точек, вычисляем площади под графиком и строим по формуле (5), таблицу и график T(t).

Ответ:

Задача 5.

В силу симметрии схемы величина тока одинакова в ребрах 1 и 1', 2 и 2', и т.д. Пользуясь этим, соединение в точке O можно разорвать, оставив соединенными только те ребра, протекающий по которым ток одинаков, и перерисовать схему (см. рис.).

Таким образом, в схеме выделяется фрагмент, в который входят 1007 одинаковых звеньев. Пользуясь тем, что количество звеньев велико, найдем сопротивление R' этого фрагмента. Это практически бесконечные цепочки, составленные из одинаковых звеньев, а потому сопротивление R' не изменится при добавлении еще одного звена. С другой стороны, это же сопротивление равно

Отсюда находим R' = R( − 1) ≈ 1,24 Ом.

Сопротивление между точками A и B: ≈ 0,55 Ом.

Ответ: Сопротивление между точками A и B R₀ = 0,55 Ом.