Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 9 класса (район 2008)

Подробности

Обновлено 28.03.2013 22:33

Решения задач районного тура олимпиады 2008 года для 9 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Рассмотрим блок массой m, к оси которого приложена направленная вертикально вниз сила F. Определим силу натяжения нити, на которой удерживается блок, T. Если блок находится в равновесии, то действующие на него силы скомпенсированы: T + T = mg + F (см. рис.). Отсюда T = ½(mg + F).

Поскольку груз находится в равновесии, он растягивает удерживающую его нить с силой T₀ = Mg. Применяя приведенные выше рассуждения к нижнему блоку, получаем, что сила натяжения удерживающей его нити T₁ = ½(mg + T₀) = ½(m + M)g. Именно такая сила приложена вниз к оси среднего блока. Таким образом, сила натяжения нити, удерживающей средней блок, равна T₂ = ½(mg + T₁) = ¼(3m + M)g. Аналогично вычисляется сила натяжения нити, удерживающей верхний блок, то есть искомая сила: T_A = ½(mg + T₂), или

= 11,25 Н.

Задача 2.

Вытекая из трубы, вода не сразу попадает на решетку. Время падения Δt определяется из соотношения H = gΔt²/2 и равно = 0,45 с. Таким образом, количество воды, протекшей к некоторому моменту через решетку, равно количеству воды, вытекшей из трубы к моменту за Δt до того.

Построим график зависимости объема воды, вытекшей из трубы, от времени (V₁(t)). За первые 2 секунды из трубы вытекло 30 см³ воды, за следующие 2 секунды — еще 20 см³ (итого 50 см³), за следующие 4 секунды — еще 140 см³ (итого 190 см³), при этом на каждом из этих трех отрезков времени вытекание проходило равномерно. Из предыдущих рассуждений следует, что искомый график получается переносом графика V₁(t) на Δt = 0,45 с вправо.

Задача 3.

Сначала выведем формулу, позволяющую определить температуру воды, устанавливающуюся при смешении двух объемов. Пусть два объема воды массами m_a и m_b имели до смешения температуры T_a и T_b. Конечная температура T определяется из того условия, что количество теплоты, отданное одним объемом, равно количеству теплоты, полученному другим: cm_a(T_a − T) = cm_b(T − T_b). Отсюда

Не имеет значения, в каком порядке смешивал воду Матвей; предположим, что сначала он перелил воду из зеленого стакана в синий. Подставляя в формулу m_a = m_b = 50 г, T_a = 30°C, T_b = 50°C, получаем T = 40°C, то есть после этого переливания в синем стакане у Матвея оказалось 100 г воды при температуре 40°C. После того, как туда было долито 40 г воды при температуре 10°C из красного стакана, в синем стакане установилась температура (это значение также получается по выведенной в начале решения формуле).

Теперь посчитаем, какая температура воды установилась в синем стакане у Кузьмы. Когда он перелил воду из красного стакана в зеленый, там оказалось 100 г воды при температуре 20°C. Обозначим за x массу воды (в граммах), вылитой Кузьмой из зеленого стакана. Таким образом, при втором переливании Кузьма смешал (100 − x) г воды при температуре 20°C и 50 г воды при температуре 50°C. Итоговая температура получилась такой же, как у Матвея — . Таким образом,

Решая это уравнение, получаем, что Кузьма вылил из зеленого стакана 18,75 г воды.

Задача 4.

Согласно закону Ома, по резистору будет протекать ток I = U/R. Рассмотрим промежуток времени t, прошедший от начала эксперимента. За это время на резисторе, согласно закону Джоуля-Ленца, выделилось количество теплоты Q₁ = I²Rt = (U²/R)t. Резистор за это время нагрелся от температуры T₀ до температуры T₁ = T₀ + αt. Для такого нагрева необходимо количество теплоты Q₂ = cm(T₁ − T₀) = αcmt. Следовательно, от резистора было отобрано количество теплоты Q₃ = Q₁ − Q₂ = (U²/R − αcm)t, а соответствующая мощность равна P = Q₃/t, или

P = U²/R − αcm.

Задача 5.

Определим давление в точках B, C и D, отмеченных на рисунке. Давление в точке D равно атмосферному (p₀). Поскольку точки C и D находятся на границах одного и того же объема воды, причем точка C расположена на глубине h относительно точки D, давление в ней на ρgh больше и равно p₀ + ρgh. Поскольку точки B и C находятся на границах одного и того же объема воздуха, давления в этих точках равны (здесь мы пренебрегаем плотностью воздуха по сравнению с плотностью воды). Таким образом, давление в точке B также равно p₀ + ρgh. Аналогично давление в точке A на ρgh больше давления в точке B и составляет

p = p₀ + 2ρgh = 104 кПа.

II вариант

Задача 1.

Рассмотрим блок массой m, к оси которого приложена направленная вертикально вниз сила F. Определим силу натяжения нити, на которой удерживается блок, T. Если блок находится в равновесии, то действующие на него силы скомпенсированы: T + T = mg + F (см. рис.). Отсюда T = ½(mg + F).

Поскольку груз находится в равновесии, он растягивает удерживающую его нить с силой T₀ = Mg. Применяя приведенные выше рассуждения к нижнему блоку, получаем, что сила натяжения удерживающей его нити T₁ = ½(mg + T₀) = ½(m + M)g. Именно такая сила приложена вниз к оси среднего блока. Таким образом, сила натяжения нити, удерживающей средней блок, равна T₂ = ½(mg + T₁) = ¼(3m + M)g. Аналогично вычисляется сила натяжения нити, удерживающей верхний блок, то есть искомая сила: T_A = ½(mg + T₂), или

= 18,75 Н.

Задача 2.

Вытекая из трубы, вода не сразу попадает на решетку. Время падения Δt определяется из соотношения H = gΔt²/2 и равно = 0,45 с. Таким образом, количество воды, протекшей к некоторому моменту через решетку, равно количеству воды, вытекшей из трубы к моменту за Δt до того.

Построим график зависимости объема воды, вытекшей из трубы, от времени (V₁(t)). За первые 3 секунды из трубы вытекло 90 см³ воды, за следующие 3 секунды — еще 15 см³ (итого 105 см³), за следующие 2 секунды — еще 40 см³ (итого 145 см³), при этом на каждом из этих трех отрезков времени вытекание проходило равномерно. Из предыдущих рассуждений следует, что искомый график получается переносом графика V₁(t) на Δt = 0,45 с вправо.

Задача 3.

Сначала выведем формулу, позволяющую определить температуру воды, устанавливающуюся при смешении двух объемов. Пусть два объема воды массами m_a и m_b имели до смешения температуры T_a и T_b. Конечная температура T определяется из того условия, что количество теплоты, отданное одним объемом, равно количеству теплоты, полученному другим: cm_a(T_a − T) = cm_b(T − T_b). Отсюда

Не имеет значения, в каком порядке смешивал воду Макар; предположим, что сначала он перелил воду из красного стакана в зеленый. Подставляя в формулу m_a = m_b = 50 г, T_a = 10°C, T_b = 30°C, получаем T = 20°C, то есть после этого переливания в зеленом стакане у Макара оказалось 100 г воды при температуре 20°C. После того, как эта вода была перелита в синий стакан, содержавший 40 г воды при температуре 50°C, в синем стакане установилась температура (это значение также получается по выведенной в начале решения формуле).

Теперь посчитаем, какая температура воды установилась в синем стакане у Трофима. Когда он перелил воду из красного стакана в зеленый, там оказалось 100 г воды при температуре 20°C. Обозначим за x массу воды (в граммах), вылитой Трофимом из зеленого стакана. Таким образом, при втором переливании Трофим смешал (100 − x) г воды при температуре 20°C и 50 г воды при температуре 50°C. Итоговая температура получилась такой же, как у Матвея — . Таким образом,

Решая это уравнение, находим x = −25. Таким образом, получаем, что описанная в задаче ситуация невозможна − напротив, чтобы итоговая температура воды оказалась одинакова, Трофим должен был бы долить в зеленый стакан 25 г воды при той же температуре.

Задача 4.

Обозначим искомое сопротивление R. Согласно закону Ома, по резистору будет протекать ток I = U/R. Рассмотрим промежуток времени t, прошедший от начала эксперимента. За это время на резисторе,
согласно закону Джоуля-Ленца, выделилось количество теплоты Q₁ = I²Rt = (^U2/R}t. В то же время отданное в окружающую среду количество теплоты равно Q₂ = Pt. Резистор за это время нагрелся от температуры T₀ до температуры T₁ = T₀ + αt. Для такого нагрева необходимо количество теплоты Q₃ = cm(T₁ − T₀) = αcmt. Следовательно, Q₃ = Q₁ − Q₂, или (U²/R − P)t = αcmt. Решая это уравнение, находим

Задача 5.

Определим давление в точках B, C и D, отмеченных на рисунке. Давление в точке D равно атмосферному (p₀). Поскольку точки C и D находятся на границах одного и того же объема воды, причем точка C расположена на глубине 2h относительно точки D, давление в ней на 2ρgh больше и равно p₀ + 2ρgh. Поскольку точки B и C находятся на границах одного и того же объема воздуха, давления в этих точках равны (здесь мы пренебрегаем плотностью воздуха по сравнению с плотностью воды). Таким образом, давление в точке B также равно p₀ + 2ρgh. Аналогично давление в точке A на 2ρgh больше давления в точке B и составляет

p = p₀ + 4ρgh = 108 кПа.