Решения 7 класса (район 2008)

Подробности
Обновлено 28.03.2013 22:33

Решения задач районного тура олимпиады 2008 года для 7 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

I вариант

Задача 1.

Пусть суммарный объём машинного масла равен V1, а суммарный объём деталей равен V2. Тогда V1 + V2 = V. При этом ρ1V1 = m1 — общая масса машинного масла, а ρ2V2 = m2 — общая масса стальных деталей. Суммарная масса наполненной бочки складывается из массы машинного масла, массы деталей и массы пустой бочки: m1 + m2 + m = M. Таким образом, получаем два уравнения: V1 + V2 = 1 м3 и 900 кг/м3 · V1 + 8000 кг/м3 · V2 = 5870 кг. Отсюда получаем, что V1 = 0,3 м3, V2 = 0,7 м3.

Задача 2.

Сплошная линия — более быстрый велосипедист, пунктирная — более медленный.

Решим эту задачу графически. По одной оси графика будем откладывать расстояние каждого велосипедиста от пункта A, по другой — время. Когда велосипедист доезжает до пункта B, расстояние до пункта A максимально и равно 30 км. Затем велосипедист поворачивает назад, и расстояние уменьшается до нуля. Ясно, что велосипедисты встречаются друг с другом, когда их расстояния до пункта A совпадают. На графике эти точки обозначены чёрными кружками. Сосчитав количество этих точек, получаем, что велосипедисты встречались друг с другом 5 раз.

Задача 3.

После того, как содержимое стакана вылили в кастрюлю, 1 грамм соли, растворённый в 100 мл воды, попадает в (2000 мл + 100 мл) = 2100 мл воды. Таким образом, концентрация соли оказывается равной 1/2100 г/мл. Если теперь зачерпнуть из кастрюли 100 мл воды, в ней окажется 100 · (1/2100) = 1/21 г соли.

Задача 4.

Возможны два варианта направления движения Петра и Павла. В одном из этих вариантов они встречаются до момента t1 = 10 мин, в другом — после этого момента. Соответственно, расстояния между ними через t2 = 20 мин будут различными в этих двух случаях. Пусть скорость Петра равна v1, а скорость Павла — v2.

Рассмотрим первый из этих двух случаев (Пётр и Павел встречаются до момента t1 = 10 мин). Тогда расстояние между ними в момент t1 запишется как S1 = v1t1 − (S0 − v2t1), где S0 = 1 км   начальное расстояние между ними. Расстояние между ними в момент t2 = 2t1 = 20 мин равно, таким образом, S2 = v1t2 − (S0 − v2t2) = 2v1t1 + 2v2t2 − S0 = 2(S0 + S1) − S0 = 1800−м}.

Во втором случае (Пётр и Павел встречаются после момента t1 = 10 мин) расстояние между ними в момент t1 записывается так: S1 = S0 − v2t1 − v1t1, а расстояние в момент времени t2 равно S2 = 2v1t1 − (S0 − 2v2t1) = S0 − 2S1 = 200 м.

Задача 5.

Так как длина ребра куба равна a, то объём равен V = a3. Пусть x — доля объёма куба, занимаемая полостью, тогда xV — объём полости. Масса цинка равна ρ(1 − x)S, а давление, оказываемое этой массой, равно

p = (1 − x)Vρg/a2 = (1 − x)aρg = 600 Па.

Подставляя численные данные, получим, что x = 0,98.

Задача 6.

В отсутствие пружины сила давления на стол была бы равна просто F = Mg. Однако, когда пружина начинает растягиваться (что происходит при наматывании нити на барабан), сила давления уменьшается и становится равной F = Mg − kΔx, где Δx — удлинение пружины. Так как Δx увеличивается равномерно (1 см за 1 с), то требуемым графиком будет прямая линия. Заметим, что при Δx = 10 см сила давления обращается в ноль.

II вариант

Задача 1.

Пусть суммарный объём машинного масла равен V1, а суммарный объём деталей равен V2. Тогда V1 + V2 = V. При этом ρ1V1 = m1 — общая масса машинного масла, а ρ2V2 = m2 — общая масса стальных деталей. Суммарная масса наполненной бочки складывается из массы машинного масла, массы деталей и массы пустой бочки: m1 + m2 + m = M. Таким образом, получаем два уравнения: V1 + V2 = 2 м3 и 900 кг/м3 · V1 + 8000 кг/м3 · V2 = 10600 кг. Отсюда получаем, что m = 280 кг.

Задача 2.

Сплошная линия — более быстрый велосипедист, пунктирная — более медленный.

Решим эту задачу графически. По одной оси графика будем откладывать расстояние каждого велосипедиста от пункта A, по другой — время. Когда велосипедист доезжает до пункта B, расстояние до пункта A максимально и равно 1 км. Затем велосипедист поворачивает назад, и расстояние уменьшается до нуля. Ясно, что велосипедисты встречаются друг с другом, когда их расстояния до пункта A совпадают. На графике эти точки обозначены чёрными кружками. Сосчитав количество этих точек, получим искомое число встреч. Заметим, что графики совместного движения велосипедистов будут периодичны с периодом в 10 минут, следовательно, можно нарисовать этот график не для 5 часов, а для 10 минут. На интервале в 10 минут велосипедисты встречаются 4 раза, значит, за 5 часов они встретятся (60 мин · 5 / 10 мин) · 4 = 120 раз.

Задача 3.

После того, как содержимое стакана вылили в кастрюлю, x грамм соли, растворённые в 250 мл воды, попадают в (1000 мл + 250 мл) = 1250 мл воды. Таким образом, концентрация соли оказывается равной x/1250 г/мл. Если теперь зачерпнуть из кастрюли 250 мл воды, в ней окажется 250 · (x/1250) = x/5 г соли. По условию, это количество равно 0,5 г, отсюда x = 2,5 г.

Задача 4.

Возможны два варианта направления движения Петра и Павла. В одном из этих вариантов они встречаются до момента t1 = 15 мин, в другом   после этого момента. Соответственно, расстояния между ними через t2 = 30 мин будут различными в этих двух случаях. Пусть скорость Петра равна v1, а скорость Павла — v2.

Рассмотрим первый из этих двух случаев (Пётр и Павел встречаются до момента t1 = 15 мин). Тогда расстояние между ними в момент t1 запишется как S1 = v1t1 − (S0 − v2t1), где S0 = 2 км — начальное расстояние между ними. Расстояние между ними в момент t2 = 2t1 = 30 мин равно, таким образом, S2 = v1t2 − (S0 − v2t2) = 2v1t1 + v2t2 − S0 = 2(S0 + S1) − S0 = 2400 м.

Во втором случае (Пётр и Павел встречаются после момента t1 = 15 мин) расстояние между ними в момент t1 записывается так: S1 = S0 − v2t1 − v1t1, а расстояние в момент времени t2 равно S2 = 2v1t1 − (S0 − 2v2t1) = S0 − 2S1 = 1600 м.

Задача 5.

Так как длина ребра куба равна a, то объём равен V = a3. Так как полость занимает 1/5 часть куба, то масса куба равна 4/5 · ρa3. Давление, оказываемое этой массой, равно

p = 4/5 · a3ρg/a2 = 4/5 · aρg = 2800 Па.

Задача 6.

В отсутствие пружины сила давления на стол была бы равна просто F = Mg. Однако, когда пружина начинает растягиваться (что происходит при наматывании нити на барабан), сила давления уменьшается и становится равной F = Mg − kΔx, где Δx — удлинение пружины. Так как Δx увеличивается равномерно (5 см за 1 с), то требуемым графиком будет прямая линия. Заметим, что при Δx = 20 см сила давления обращается в ноль.