Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 8 класса (город 2007)

Подробности

Обновлено 29.03.2013 21:54

Решения задач городского тура 2007 года для 8 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

В первом случае A_↓ = A_тр − mgh, во втором - A_↑ = A_тр + mgh. Отсюда .

Задача 2.

Рассмотрим промежуток времени, за который человек, раздающий рекламу, двигается от первого пешехода ко второму. Пусть пешеход 2 за это время - τ - проходит расстояние a + c (на рисунке - случай c > 0). Тогда по теореме Пифагора человек, раздающий рекламу, проходит расстояние . Так как скорости у них одинаковы, то за одинаковое время они пройдут одинаковое расстояние: a + c = . Возводя обе части в квадрат, легко найти . Теперь можно найти . За время τ человек, раздающий рекламу, сдвинется вдоль дороги на c. Тогда за время t он сдвинется на расстояние = 0.6 км.

Задача 3.

Пусть сила натяжения веревки равна T, а точка B находится на расстоянии r = |OB| от центра блока O. Тогда правило рычага для сил, действующих на большой блок, дает:

T · R = mg · r (1)

Пусть длина нерастянутой пружины равна l. Растяжение пружины следовательно равно Δx = |BA| − l = r + Δr. Где Δr = |OA| − l - величина, одинаковая для различных положений точки B, т.е. для различных значений r. Это следует из того, что по условию точка A - другой конец пружины свое положение не меняет. Таким образом

T = k(r + Δr) (2)

Из (1) и (2) имеем

kR · (r + Δr) = mg · r

Такое равенство для произвольного r возможно, только когда Δr = 0 и k = mg/R.

Задача 4.

Пусть в момент открывания поплавок погружен на глубину (см. рис.) h_откр. Сила Архимеда, действующая на поплавок, равна ρgSh_откр. Сила давления (именно она и обеспечивает «прилипание») действующая на клапан вниз равна ρg(h_откр+l)S₁. Еще на систему поплавок+клапан действует суммарная сила тяжести Mg. В момент отрыва сила реакции со стороны сосуда на присоску равна нулю, и мы имеем:

ρgSh_откр=Mg + ρg(h_откр+l)S₁ (1)

Теперь рассмотрим момент закрывания. Глубина погружения поплавка пусть равна h_закр (см. рис.). Сила Архимеда, действующая на поплавок, равна ρgSh_закр. Суммарная сила тяжести остается такой же - Mg. Перед «прилипанием» под клапаном есть вода, а так как объем его пренебрежимо мал, то и сила Архимеда, действующая на него пренебрежимо мала. Поэтому в этом случае имеем:

ρgSh_закр = Mg (2)

Изменение объема воды в сосуде между закрытием и открытием клапана равно ΔV = (h_откр−h_закр) · (S₀−S). Искомое время равно τ = ΔV/u. Находя h_откр и h_закр из (1) и (2) получаем:

= 9 мин.

Задача 5.

При постоянном скоростном режиме (данной зависимости V от x) временной интервал между машинами остается постоянным. До изменения скоростного режима он равен τ между всеми машинами. Рассмотрим две соседние машины. Пусть в момент изменения скоростного режима расстояние между ними равно Δx. И соответствующий отрезок полностью лежит в участке, скорость на котором до подачи сигнала равна v, а после - v'. Тогда Δx = v·τ, так как если бы скорость не изменили, второй автомобиль проехал бы это расстоянии за время τ со скоростью v. Но скорость изменилась, поэтому также верно то, что Δx = v'·τ', где τ' - новый временной интервал между машинами. Отсюда имеем vτ = v'τ' ⇒ .

Следовательно чем больше отношение v/v', тем больше τ. Из графика находим максимальное возможное отношение v/v' и получаем ответ: τ' = 15 с. Мы не рассмотрели случай, когда отрезок Δx между ближайшими машинами не полностью лежит в определенном скоростном участке. Но в этом случае его можно разбить на два, и каждый из них рассмотреть аналогично. Так как нас интересует максимально возможный образовавшийся временной интервал, то этот случай рассматривать не имеет смысла.

Задача 6.

Будем называть тело с известной зависимостью первым, а другое - вторым. Пусть C₁ и C₂ - их теплоемкости. Рассмотрим некоторый интервал времени. Пусть изменение температур тел равны ΔT₁ и ΔT₂. Так как теплообмен происходит только между этими двумя телами, то C₁ΔT₁ + C₂ΔT₂ = 0. Отсюда C₁/C₂ = |ΔT₂/ΔT₁| и отношение теплоемкостей можно определить по началу графиков. Считая изменение температур на начальном участке, находим C₂/C₁ ≈ 3. Зная это отношение легко определить температуру T₂ второго тела в любой момент времени по температуре T₁ первого тела (индексом ноль обозначены начальные температуры):

C₁(T₁−T₁₀) + C₂(T₂−T₂₀) ⇒

и построить таким образом искомый график:

Задача 7.

Рассмотрим указанный в условии случай, когда масса цилиндра G равна нулю и H = 0. Очевидно, давление под поршнями равно атмосферному, силы натяжения всех нитей, как и пружины, равны нулю. По условию также известно, что все нити при этом не провисают.

Пусть теперь у G появилась масса ненулевая масса M, тогда он опустится на глубину H ≠ 0 (см. рис.) под поршень D. Поршни же D и C пусть поднимутся соответственно на высоты h₁ и h₂. В правом сосуде объем воды изменится на S₀h₂, а в левом - на (S₀h₁−HS). Закон сохранения объема воды дает:

S₀(h₁+h₂) = SH (1)

Расстояния между блоком E и поршнем D уменьшится на h₁+h₂. А расстояние между верхним концом пружины и поршнем D уменьшится на величину вдвое большую - 2(h₁+h₂). Нижний конец пружины опустился относительно поршня D на H, следовательно растяжение пружины равно Δx = H − 2(h₁+h₂). Тогда сила натяжения веревки, перекинутой через блок E равна

T = kΔx = kH(1 − 2S/S₀) (2)

(Здесь мы использовали (1)). Рассмотрим теперь вертикальные силы давления, действующие на G. Сверху на него действует сила атмосферного давления p₀·S. Снизу - сила давления воды (p_D+ρgH)·S, где p_D - давление воды под поршнем. Его можно найти из условия равновесия поршня D: p₀(S₀−S) = T + p_D(S₀−S). В итоге на G действует «сила Архимеда» (вертикальная составляющая суммы всех сил давления, направленная вверх) равная:

F_д = (p_D + ρgH)·S − p₀·S = (3)

Наконец, условие равновесия G:

T + F_д = Mg

Подставляя выражения для T и F_д из (2) и (3), находим