Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 11 класса (район 2007)

Подробности

Обновлено 29.03.2013 21:54

Решения задач районного тура олимпиады 2007 года для 11 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Обозначим первоначальное давление газа под поршнем через p, его температуру — через T, количество вещества газа — через ν, площадь поршня — через S. Уравнение Клайперона - Менделеева для газа вначале имеет вид

pSH= νRT (1)

Как только по поршню начал скакать шарик, поршень стал колебаться и возбуждать волны в газе. Через некоторое время колебания затухнут, при этом лежащий на поршне шарик увеличит давление газа на mg/S, (m — масса шарика), температура газа также увеличится на ΔT, а его объем не изменится по условию. Уравнение Клайперона - Менделеева теперь принимает вид

(p+mg/S)SH = ΔR(T+ΔT) (2)

Изменение температуры газа проше всего определить из закона сохранения энергии: полная работа, совершенная газом над поршнем равна нулю (поршень в конце оказался там же, где и был), а потенциальная энергия шарика перешла во внутреннюю энергию газа:

mgh = 3νRΔT/2 ⇒ νRΔT = 2mgh/3 (3)

Вычитая из (2) выражение (1), получим mgH = νRΔT. Подставляя в правую часть этого выражения 2mgh/3 из (3), получаем H = 2h/3, или h = 3H/2.

Задача 2.

Шайба движется вдоль плоскости, поэтому введем оси координат x, y, как показано на рисунке. Спроецируем силу тяжести на выбранные оси. Из рисунка видно, что проекция силы тяжести на ось y обеспечит модуль ускорения тела g_y = gsinα. Понятно также, что проекция силы тяжести на ось x равна нулю, и что составляющая силы тяжести перпендикулярная плоскости, mgcosα, будет скомпенсирована силой реакции плоскости. Уравнения движения в проекции на данные оси тогда имеют вид:

x(t) = Vcosβt (1)
y(t) = Vsinβt − g_yt²/2 (2)

В момент T, когда тело попало в лунку x(T) = l, y(T) = h. Подставим эти значения в (1) и (2), выразим время движения из (1): T = l/(Vcosβ), и подставим его в (2):

Отсюда легко выразить искомый модуль скорости:

Понятно, что решение существует только если выражение под корнем больше нуля, то есть при tgβ > h/l. Физически это соответствует тому, что лунка должна быть расположена ниже прямой, проведенной на плоскости в точке А под углом β к горизонтали (см. заштрихованную область на рисунке). Если это не так, попасть в лунку невозможно.

Задача 3.

Предположим, систему подключили к источнику, у которого на клеммах поддерживаются потенциалы φ₁ и φ₂ (разность этих потенциалов равна напряжению на источнике). Таким образом, потенциалы на крайних пластинах также равны φ₁ и φ₂. Провода, соединяющие пластины, обеспечивают равенство потенциалов на соединяемых деталях, так что легко понять, какой потенциал имеет каждая пластина (см. рис.).

Пусть для определенности φ₂ > φ₁ . Тогда между любыми соседними пластинами имеется однородное электрическое поле, направление которого указано на рисунке (от большего потенциала к меньшему). Величина поля E одинакова для всех промежутков, так как Δφ = Ed, а разность потенциалов на соседних пластинах и расстояние d одинаково для всех промежутков между пластинами. Отметим, что это поле создается в каждом из промежутков всеми четырьмя пластинами.

Крайние пластины создают между собой поле E (у нас направлено слева направо, изображено на втором рисунке тонкими стрелками), которое пронизывает все промежутки. Значит плотность заряда на крайних пластинах σ = ε₀E = ε₀Δφ/d. Две внутренние пластины не создают поля снаружи от себя, а внутри, между собой, должны создавать поле 2E (в нашем случае направленное справа налево, изображено на втором рисунке толстыми стрелками), так чтобы суперпозиция поля внешних пластин и поля внутренних пластин в этой области давала поле E, направленное справа налево. Значит, плотность заряда (и сам заряд) на внутренних пластинах в два раза больше плотности заряда на внешних пластинах. Заряд получившегося конденсатора равен Q = 3σS = 3ε₀SΔφ/d. Сдругой стороны, Q = CΔφ, откуда С = 3ε₀S/d.

Этот ответ можно было сразу получить, заметив что каждый промежуток между пластинами можно представить как конденсатор емкостью С₀ = ε₀S/d, и что на всех таких трех конденсаторах одинаковое напряжение, значит они включены параллельно друг другу, и полная емкость системы составляет 3С₀.

Задача 4.

Имеется 4 изображения.

Первое — изображение предмета в зеркале. При этом лучи проходят мимо линзы, попадая прямо на зеркало, отражаются, а их продолжение за зеркало образует мнимое изображение (когда мы смотрим на отраженные лучи, они словно идут от предмета из-за зеркала). Чтобы построить это изображение, нужно опустить на плоскость зеркала перпендикуляр от предмета. За зеркалом на расстоянии 2a и расположено первое изображение, размер которого равен, очевидно, а (см. рис 1).

Второе изображение появляется, когда лучи от предмета проходят через линзу. Так как предмет находится на удвоенном фокусном расстоянии от линзы, второе изображение того же размера что и предмет и расположено на том же расстоянии от линзы, что и предмет (этот известный результат можно получить, например, из формулы линзы 1/f = 1/A + 1/B, где А = 2f — расстояние от линзы до предмета, В — от линзы до изображения).

Третье изображение получается, когда лучи, прошедшие сквозь линзу, отражаются от зеркала. Казалось бы, мы можем поступить, как и в случае первого изображения: отразить в зеркале второе изображение. Однако оказывается, что лучи от некоторых точек предмета, пройдя через линзу, не попадают на зеркало. Действительно, рассмотрим луч, проходящий от некоторой точки предмета через край линзы, и падающий на самый край зеркала (см. пунктир-точечную линию на рис.). Понятно, что лучи, идущие от более низких точек предмета к краю линзы (идущие под большим углом к оптической оси) после линзы пойдут под меньшим углом к оптической оси (по сравнениюс выбранным пунктир-точечным лучом) и не попадут на зеркало. Наоборот, лучи от верхушки предмета к краю линзы всегда попадают на зеркало. Мы рассматривали луч, преломляемые именно краем линзы, так как если он не попадает на зеркало, то остальные лучи, вышедшие из той же точки предмета и прошедшие через другие точки линзы, не попадут и подавно (см. рис. 4).

Итак, в зеркале отразится только часть второго изображения, лежащая ниже точки Х (см. рис. 4), т.е. кончик стрелочки. Найдем длину этого кончика (пользуемся тем, что его изображение в зеркале будет того же размера).Треугольник АВС подобен треугольнику ZBX, откуда .

Вычитая из ZB радиус линзы получим, что расстояние от Х до главной оптической оси равно 2а/3, т.е. третье изображения в три раза короче остальных.

И, наконец, четвертое изображение получается, когда лучи, отразившиеся от зеркала (лучи от первого изображения), преломляются в линзе. Первое изображение, как и сам предмет, находится на удвоенном фокусном расстоянии линзы, так что его изображение в зеркале строится совершенно аналогично второму изображению: размер его составит a, расстояние от него до линзы равно 2f, расстояние от него до главной оптической оси (как и у первого изображения) равно 4a.

Задача 5.

Шарик двигается под действием трех сил: силы тяжести mg, силы реакции обода и силы F_л, действующей со стороны магнитного поля. Шарик находится в невесомости, если сила реакции обода обращается в ноль.

Скорость шарика V_REZ представляет из себя сумму векторов вращательной скорости ωR и поступательной скорости колеса V_п. Так как колесо катится без проскальзывания, ωR = V = V_п. Силу, действующую со стороны поля, легко представить в виде двух составляющих, F₁ = qBV, направленной вверх, и F₂ = qBωR = qBV, направленной к центру колеса (см. рис.).

Задачу проще всего решить, перейдя в систему отсчета, которая движется вместе с осью колеса. Силы, действующие на шарик, не меняются при переходе в другую (инерциальную) систему отсчета (хотя именно для силы Лоренца это не так просто понять, см. примечание). Траектория движения шарика в этой системе — окружность, значит сила, действующая со стороны поля на заряд должна, во-первых, иметь вертикальную составляющую, компенсирующую силу тяжести,

F₁ = qBV = mg , (1)

а во-вторых, иметь составляющую, обеспечивающую центростремительное ускорение V²/R,

F₂ = qBV = mV²/R. (2)

Из (1), (2) легко получаем ответ: q = mg/BV, R = V²/g.

Примечание: Давайте вспомним, что электрическое и магнитное поле имеют единую природу. Рассмотрим, что происходит с силой Лоренца при переходе в другую систему отсчета. Пусть частица двигается поперек магнитного поля B со скоростью V относительно земли. Сила Лоренца равна, очевидно, qVB. Перейдем в систему отсчета, в которой частица покоится. Поскольку наша новая система отсчета инерциальна, все физические законы в ней должны быть неотличимы от законов в исходной системе, то есть на частицу должна действовать сила F = qVB. Однако в данной системе отсчета частица покоится, а сила Лоренца действует только на движещиеся частицы, т. е., казалось бы, магнитное поле перестало действовать на частицу. На самом деле, при движении поперек силовых линий магнитного поля порождается электрическое поле E, численно равное BV, так что, хотя в новой системе отсчета сила Лоренца действительно пропала, вместо нее появилась равная ей по модулю и направлению электрическая сила qE (см. рисунки). Корректная математическая запись для электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля при переходе в другую систему отсчета дается уравнениями Максвелла, что, впрочем, выходит за рамки школьного курса физики и не требуется при решении данной задачи.

II вариант

Задача 1.

Обозначим первоначальное давление газа под поршнем через p, его температуру — через T, количество вещества газа — через ν, площадь поршня — через S. Уравнение Клайперона - Менделеева для газа вначале имеет вид

pSH= νRT (1)

Как только по поршню начал скакать шарик, поршень стал колебаться и возбуждать волны в газе. Через некоторое время колебания затухнут, при этом лежащий на поршне шарик увеличит давление газа на mg/S, (m — масса шарика), температура газа также увеличится на ΔT, а его объем не изменится по условию. Уравнение Клайперона - Менделеева теперь принимает вид

(p+mg/S)SH = ΔR(T+ΔT) (2)

Изменение температуры газа проше всего определить из закона сохранения энергии: полная работа, совершенная газом над поршнем равна нулю (поршень в конце оказался там же, где и был), а потенциальная энергия шарика перешла во внутреннюю энергию газа:

mgh = 5νRΔT/2 ⇒ νRΔT = 2mgh/5 (3)

Вычитая из (2) выражение (1), получим mgH = νRΔT. Подставляя в правую часть этого выражения 2mgh/5 из (3), получаем H = 2h/5.

Задача 2.

Шайба движется вдоль плоскости, поэтому введем оси координат x, y, как показано на рисунке. Спроецируем силу тяжести на выбранные оси. Из рисунка видно, что проекция силы тяжести на ось y обеспечит модуль ускорения тела g_y = gsinα. Понятно также, что проекция силы тяжести на ось x равна нулю, и что составляющая силы тяжести перпендикулярная плоскости, mgcosα, будет скомпенсирована силой реакции плоскости. Уравнения движения в проекции на данные оси тогда имеют вид:

x(t) = Vcosβt (1)
y(t) = Vsinβt + g_yt²/2 (2)

В момент T, когда тело попало в лунку x(T) = l, y(T) = h. Подставим эти значения в (1) и (2), выразим время движения из (1): T = l/(Vcosβ), и подставим его в (2):

Отсюда легко выразить искомый модуль скорости:

Понятно, что решение существует только если выражение под корнем больше нуля, то есть при tgβ < h/l. Физически это соответствует тому, что лунка должна быть расположена ниже прямой, проведенной на плоскости в точке А под углом β к горизонтали (см. заштрихованную область на рисунке). Если это не так, попасть в лунку невозможно.

Задача 3.

Предположим, систему подключили к источнику, у которого на клеммах поддерживаются потенциалы φ₁ и φ₂ (разность этих потенциалов равна напряжению на источнике). Таким образом, потенциалы на крайних пластинах также равны φ₁ и φ₂. Провода, соединяющие пластины, обеспечивают равенство потенциалов на соединяемых деталях, так что легко понять, какой потенциал имеет каждая пластина (см. рис.).

Пусть для определенности φ₂ > φ₁ . Тогда между любыми соседними пластинами имеется однородное электрическое поле, направление которого указано на рисунке (от большего потенциала к меньшему). Величина поля E одинакова для всех промежутков, так как Δφ = Ed, а разность потенциалов на соседних пластинах и расстояние d одинаково для всех промежутков между пластинами. Отметим, что это поле создается в каждом из промежутков всеми четырьмя пластинами.

Крайние пластины создают между собой поле E (у нас направлено слева направо, изображено на втором рисунке тонкими стрелками), которое пронизывает все промежутки. Значит плотность заряда на крайних пластинах σ = ε₀E = ε₀Δφ/d. Две внутренние пластины не создают поля снаружи от себя, а внутри, между собой, должны создавать поле 2E (в нашем случае направленное справа налево, изображено на втором рисунке толстыми стрелками), так чтобы суперпозиция поля внешних пластин и поля внутренних пластин в этой области давала поле E, направленное справа налево. Значит, плотность заряда (и сам заряд) на внутренних пластинах в два раза больше плотности заряда на внешних пластинах. Заряд получившегося конденсатора равен Q = 3σS = 3ε₀SΔφ/d. Сдругой стороны, Q = CΔφ, откуда С = 3ε₀S/d, d = 3ε₀/C.

Этот ответ можно было сразу получить, заметив что каждый промежуток между пластинами можно представить как конденсатор емкостью С₀ = ε₀S/d, и что на всех таких трех конденсаторах одинаковое напряжение, значит они включены параллельно друг другу, и полная емкость системы составляет 3С₀.

Задача 4.

Имеется 3 изображения.

Первое — изображение предмета в зеркале. При этом лучи проходят мимо линзы, попадая прямо на зеркало (это возможно, так как между линзой и зеркалом есть промежуток), отражаются, а их продолжение за зеркало образует мнимое изображение (когда мы смотрим на отраженные лучи, они словно идут от предмета из-за зеркала). Чтобы построить это изображение, нужно опустить на плоскость зеркала перпендикуляр от предмета. За зеркалом на расстоянии 3a и расположено первое изображение, размер которого равен, очевидно, а (см. рис 1).

Второе изображение появляется, когда лучи от предмета проходят через линзу. Так как предмет находится на удвоенном фокусном расстоянии от линзы, второе изображение того же размера что и предмет и расположено на том же расстоянии от линзы, что и предмет (этот известный результат можно получить, например, из формулы линзы 1/f = 1/A + 1/B, где А = 2f — расстояние от линзы до предмета, В — от линзы до изображения).

И, наконец, третье изображение получается, когда лучи, прошедшие сквозь линзу, отражаются от зеркала. Казалось бы, мы можем поступить, как и в случае первого изображения: отразить в зеркале второе изображение. Однако оказывается, что лучи от некоторых точек предмета, пройдя через линзу, не попадают на зеркало. Действительно, рассмотрим луч, проходящий от некоторой точки предмета через край линзы, и падающий на самый край зеркала (см. пунктир-точечную линию на рис.). Понятно, что лучи, идущие от более низких точек предмета к краю линзы (идущие под большим углом к оптической оси) после линзы пойдут под меньшим углом к оптической оси (по сравнениюс выбранным пунктир-точечным лучом) и не попадут на зеркало. Наоборот, лучи от верхушки предмета к краю линзы всегда попадают на зеркало. Мы рассматривали луч, преломляемые именно краем линзы, так как если он не попадает на зеркало, то остальные лучи, вышедшие из той же точки предмета и прошедшие через другие точки линзы, не попадут и подавно (см. рис. 4).

Итак, в зеркале отразится только часть второго изображения, лежащая ниже точки Х (см. рис. 4), т.е. кончик стрелочки. Найдем длину этого кончика (пользуемся тем, что его изображение в зеркале будет того же размера). Треугольник АВС подобен треугольнику ZBX, откуда .

Вычитая из ZB радиус линзы получим, что расстояние от Х до главной оптической оси равно а/2, т.е. третье изображения в два раза короче остальных.

Задача 5.

Шарик двигается под действием трех сил: силы тяжести mg, силы реакции обода и силы F_л, действующей со стороны магнитного поля. Шарик находится в невесомости, если сила реакции обода обращается в ноль.

Скорость шарика V_REZ представляет из себя сумму векторов вращательной скорости ωR и поступательной скорости колеса V_п. Так как колесо катится без проскальзывания, ωR = V = V_п. Силу, действующую со стороны поля, легко представить в виде двух составляющих, F₁ = qBV, направленной вверх, и F₂ = qBωR = qBV, направленной к центру колеса (см. рис.).

Задачу проще всего решить, перейдя в систему отсчета, которая движется вместе с осью колеса. Силы, действующие на шарик, не меняются при переходе в другую (инерциальную) систему отсчета (хотя именно для силы Лоренца это не так просто понять, см. примечание). Траектория движения шарика в этой системе — окружность, значит сила, действующая со стороны поля на заряд должна, во-первых, иметь вертикальную составляющую, компенсирующую силу тяжести,

F₁ = qBV = mg , (1)

а во-вторых, иметь составляющую, обеспечивающую центростремительное ускорение V²/R,

F₂ = qBV = mV²/R. (2)

Из (1), (2) легко получаем ответ: , .

Примечание: Давайте вспомним, что электрическое и магнитное поле имеют единую природу. Рассмотрим, что происходит с силой Лоренца при переходе в другую систему отсчета. Пусть частица двигается поперек магнитного поля B со скоростью V относительно земли. Сила Лоренца равна, очевидно, qVB. Перейдем в систему отсчета, в которой частица покоится. Поскольку наша новая система отсчета инерциальна, все физические законы в ней должны быть неотличимы от законов в исходной системе, то есть на частицу должна действовать сила F = qVB. Однако в данной системе отсчета частица покоится, а сила Лоренца действует только на движещиеся частицы, т. е., казалось бы, магнитное поле перестало действовать на частицу. На самом деле, при движении поперек силовых линий магнитного поля порождается электрическое поле E, численно равное BV, так что, хотя в новой системе отсчета сила Лоренца действительно пропала, вместо нее появилась равная ей по модулю и направлению электрическая сила qE (см. рисунки). Корректная математическая запись для электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля при переходе в другую систему отсчета дается уравнениями Максвелла, что, впрочем, выходит за рамки школьного курса физики и не требуется при решении данной задачи.