Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 9 класса (район 2007)

Подробности

Обновлено 29.03.2013 21:55

Решения задач районного тура олимпиады 2007 года для 9 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Холодильник забирает энергию у воды и из сети и выделяет ее в окружающую среду. Таким образом, выделившаяся теплота будет равна сумме энергии, потребленной холодильником из сети (Pt), и теплоты, выделившейся при кристаллизации воды (λm): Q = Pt + λm = 15,2 МДж.

Задача 2.

Перерисуем схему, чтобы было удобнее определять ее сопротивление.

Резисторы 1 и 5 соединены параллельно, их соединение имеет сопротивление 1/(1/R+1/R) = R/2. Группа резисторов 1-5 соединена последовательно с резисторами 2 и 3, сопротивление такого соединения R/2+R+R = 5R/2. Наконец, группа резисторов 1-2-3-5 соединена последовательно с резистором 4, сопротивление этого соединения равно R_общ = 1/(2/5R+1/R) = 5R/7. По закону Ома ток, протекающий через цепь, равен I = U/R_общ = 7U/5R = 2,1 мА.

Задача 3.

Скорость лодки установится, когда все силы, действующие на лодку, будут скомпенсированы. Для этого силы, действующие на лодку со стороны воды и на парус со стороны воздуха, должны быть равны. Если скорость лодки относительно воды равна v, то ее же скорость относительно воздуха равна u−v. Таким образом, надо решить уравнение F₂(v) = F₁(u−v), где F₁ — сила сопротивления воздуха, F₂ — сила сопротивления воды. Это можно сделать графически, отразив одну из кривых.

Таким образом, установившаяся скорость лодки будет равна 2,76 м/с.

Задача 4.

Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с человеком. В ней ускорение собаки будет таким же, как и относительно земли, так как движение человека относительно земли равномерно и прямолинейно. Условие задачи переформулируется так: начальное расстояние между человеком и собакой равно s, начальная скорость собаки равна v и направлена от человека, человек неподвижен, а конечная скорость собаки должна равняться нулю.

Поскольку собака вначале удаляется от человека, чтобы добраться до него, она должна сначала остановиться. Разобьем движение собаки на три этапа:

• От начала движения до первой остановки. На всем протяжении этого этапа собака удаляется от человека. Обозначим перемещение собаки на этом этапе x. Таким образом, после первого этапа расстояние между собакой и человеком составит s+x.
• От конца первого этапа до момента, когда расстояние между собакой и человеком составляет (s+x)/2. Заметим, что в начале этого этапа скорость собаки равна нулю, а перемещение на этом этапе равно (s+x)/2.
• От конца второго этапа до встречи собаки и человека. Заметим, что в конце этого этапа скорость собаки равна нулю, а перемещение на этом этапе равно (s+x)/2.

Теперь исследуем, каково может быть время движения собаки на каждом из этапов.

• В начале этапа скорость собаки равна v, а в конце — нулю. Время движения на этом этапе будет минимально, если собака будет все время замедляться с максимально возможным ускорением: t₁ ≥ v/a. Кроме того, заметим, что для того, чтобы перемещение собаки на этом этапе было минимально, она также должна замедляться с максимально возможным ускорением: x ≥ v²/2a.
• Чтобы собака, двигаясь без начальной скорости, преодолела расстояние (s+x)/2 за минимальное время, она должна постоянно двигаться с максимально возможным ускорением. При этом (s+x)/2 = at_2min²/2, т.е. t_2min = . Таким образом, t₂ ≥ ≥ .
• Представим, что движение собаки на этом этапе записано на пленку и воспроизведено в обратном порядке. Тогда собака проходит расстояние (s+x)/2, а ее начальная скорость равна нулю. Повторяя рассуждения из предыдущего пункта, получаем, что время движения на этом этапе t₃ ≥ .

Таким образом, общее время движения собаки не меньше, чем . Обратим внимание, что существует способ, позволяющий собаке затратить ровно такое время на движение: она должна сначала замедляться с максимально возможным ускорением до остановки (при этом пройдя расстояние x = v²/2a), затем покрыть половину образовавшегося расстояния, разгоняясь с максимально возможным ускорением, а затем опять замедляться с максимально возможным ускорением. Подставляя числовые значения, получаем, что минимальное время равно 15,2 с.

Задача 5.

Общий объем воды V₁ = M/ρ₀ = 1 м³, шариков V₂ = m/ρ = 0,625 м³. Таким образом, общий объем пустот между шариками V₃ = M/ρ₀ − m/ρ = 0,375 м³; объем пустот составляет k = V₃/V₂ = 3/5 от объема шариков. Поскольку шарики менее плотные, чем вода, они будут всплывать, при этом часть шариков будет находиться под водой. Сила тяжести, действующая на шарики, уравновешивается силой Архимеда: mg = ρ₀gV₄, где V₄ — объем находящихся под водой шариков. Отсюда V₄ = m/ρ₀ = 0,5 м³. Объем пустот между находящимися под водой шариками равен V₅ = kV₄ = 0,3 м³; этот объем заполнен водой. Следовательно, объем воды, находящейся под шариками, равен V₆ = V₁ − V₅ = 0,7 м³. Поскольку вода объема V₁ доходит до уровня h, вода объема V₆ доходит до уровня h₁ = hV₆/V₁ = 0,7 м от дна — это нижняя граница шариков. Таким образом, самые верхние шарики расположены на уровне x = h + h₁ = h(2 − ρ/ρ₀ + m/M) = 1,7 м от дна.

II вариант

Задача 1.

Холодильник забирает энергию у воды и из сети и выделяет ее в окружающую среду. Таким образом, выделившаяся теплота будет равна сумме энергии, потребленной холодильником из сети (Pt), и теплоты, выделившейся при кристаллизации воды (cm(T₂−T₁)): Q = Pt + cm(T₂−T₁) = 7,68 МДж.

Задача 2.

Перерисуем схему, чтобы было удобнее определять ее сопротивление.

Резисторы 3 и 5 соединены последовательно, их общее сопротивление R+R = 2R. Группа резисторов 3-5 и резистор 1 соединены параллельно, их соединение имеет сопротивление 1/(1/2R+1/R) = 2R/3. Группа резисторов 1-3-5 соединена последовательно с резистором 2, сопротивление такого соединения 2R/3+R = 5R/3. Наконец, группа резисторов 1-2-3-5 соединена последовательно с резистором 4, сопротивление этого соединения равно R_общ = 1/(3/5R+1/R) = 5R/8. По закону Ома ток, протекающий через цепь, равен I = U/R_общ = 8U/5R = 2,4 мА.

Задача 3.

Скорость лодки установится, когда все силы, действующие на лодку, будут скомпенсированы. Для этого силы, действующие на лодку со стороны воды и на парус со стороны воздуха, будут равны. Если скорость лодки относительно берега (и воздуха) равна v, то ее же скорость относительно воды равна u−v. Таким образом, надо решить уравнение F₁(v) = F₂(u−v), где F₁ — сила сопротивления воздуха, F₂ — сила сопротивления воды. Это можно сделать графически, отразив одну из кривых.

Таким образом, установившаяся скорость лодки будет равна 0,56 м/с.

Задача 4.

Чтобы человек прошел как можно меньшее расстояние, собака должна догнать его как можно быстрее.

Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с человеком. В ней ускорение собаки будет таким же, как и относительно земли, так как движение человека относительно земли равномерно и прямолинейно. Условие задачи переформулируется так: начальное расстояние между человеком и собакой равно s, начальная скорость собаки равна v и направлена от человека, человек неподвижен, а конечная скорость собаки должна равняться нулю.

Поскольку собака вначале удаляется от человека, чтобы добраться до него, она должна сначала остановиться. Разобьем движение собаки на три этапа:

• От начала движения до первой остановки. На всем протяжении этого этапа собака удаляется от человека. Обозначим перемещение собаки на этом этапе x. Таким образом, после первого этапа расстояние между собакой и человеком составит s+x.
• От конца первого этапа до момента, когда расстояние между собакой и человеком составляет (s+x)/2. Заметим, что в начале этого этапа скорость собаки равна нулю, а перемещение на этом этапе равно (s+x)/2.
• От конца второго этапа до встречи собаки и человека. Заметим, что в конце этого этапа скорость собаки равна нулю, а перемещение на этом этапе равно (s+x)/2.

Теперь исследуем, каково может быть время движения собаки на каждом из этапов.

• В начале этапа скорость собаки равна v, а в конце — нулю. Время движения на этом этапе будет минимально, если собака будет все время замедляться с максимально возможным ускорением: t₁ ≥ v/a. Кроме того, заметим, что для того, чтобы перемещение собаки на этом этапе было минимально, она также должна замедляться с максимально возможным ускорением: x ≥ v²/2a.
• Чтобы собака, двигаясь без начальной скорости, преодолела расстояние (s+x)/2 за минимальное время, она должна постоянно двигаться с максимально возможным ускорением. При этом (s+x)/2 = at_2min²/2, т.е. t_2min = . Таким образом, t₂ ≥ ≥ .
• Представим, что движение собаки на этом этапе записано на пленку и воспроизведено в обратном порядке. Тогда собака проходит расстояние (s+x)/2, а ее начальная скорость равна нулю. Повторяя рассуждения из предыдущего пункта, получаем, что время движения на этом этапе t₃ ≥ .

Таким образом, общее время движения собаки не меньше, чем . Обратим внимание, что существует способ, позволяющий собаке затратить ровно такое время на движение: она должна сначала замедляться с максимально возможным ускорением до остановки (при этом пройдя расстояние x = v²/2a), затем покрыть половину образовавшегося расстояния, разгоняясь с максимально возможным ускорением, а затем опять замедляться с максимально возможным ускорением. При этом человек успеет пройти расстояние = 29,9 м.

Задача 5.

Общий объем воды V₁ = M/ρ₀ = 0,8 м³, шариков V₂ = m/ρ = 0,64 м³. Таким образом, общий объем пустот между шариками V₃ = M/ρ₀ − m/ρ = 0,16 м³; объем пустот составляет k = V₃/V₂ = 1/4 от объема шариков. Поскольку шарики менее плотные, чем вода, они будут всплывать, при этом часть шариков будет находиться под водой. Сила тяжести, действующая на шарики, уравновешивается силой Архимеда: mg = ρ₀gV₄, где V₄ — объем находящихся под водой шариков. Отсюда V₄ = m/ρ₀ = 0,4 м³. Объем пустот между находящимися под водой шариками равен V₅ = kV₄ = 0,1 м³; этот объем заполнен водой. Следовательно, объем воды, находящейся под шариками, равен V₆ = V₁ − V₅ = 0,7 м³. Поскольку вода объема V₁ доходит до уровня h, вода объема V₆ доходит до уровня h₁ = hV₆/V₁ = h(1 − ρ/ρ₀ + m/M) = 0,875 м от дна — это и есть нижняя граница шариков.