Решения 8 класса (район 2007)

Решения задач районного тура олимпиады 2007 года для 8 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

I вариант

Задача 1.

Во время движения троллейбуса покидать его не имеет смысла, так как его скорость больше скорости пешехода. Так же не выгодно выходить не в самом начале остановки, так как за время время стоянки можно пройти некоторое расстояние. Поэтому, очевидно, среди предполагаемых моментов выхода стоит рассматривать самые начала остановок. Пусть время начала i-ой остановки — ti. Тогда t1 = 1 мин, t2 = 4 мин, t3 = 7 мин, t4 = 11 мин, t5 = 15 мин. Выйти в момент ti выгоднее, чем в момент ti+1, если расстояние, Si которое Пётр проходит пешком (со скоростью u = 5км/ч) за время ti+1ti больше, чем путь троллейбуса Li на этом же интервале, который просто находится из графика. Si = u(ti+1ti). А именно: S1 = 5 км/ч · 3 мин, S2 = 5 км/ч · 3 мин, S3 = 5 км/ч · 4 мин, S4 = 5 км/ч · 4 мин, и L1 = 20 км/ч · 2мин, L2 = 10км/ч · 2мин, L3 = 5 км/ч · 2 мин, L4 = 5 км/ч · 2 мин. Видно, что Si > Li начиная с i = 3, поэтому выйти нужно в момент времени t3 = 6 мин.

Задача 2.

Пусть силы натяжения веревок прикрепленных к левому и правому верхним поршням равны соответственно F1 и F2. Давление воды у нижнего поршня равно атмосферному pA, так как нижний поршень уравновешен. Тогда давление у верхнего левого поршня равно p1 = pAρВgh1. Все силы действующие на левый верхний поршень скомпенсированы:

F1 + p1S1 = pAS1F1 = ρВS1h1g (1)

Аналогично

F2 = ρВS2h2g (2)

где h2 — высота столба воды между правым верхним и нижним поршнями. Правило рычага

F1l1 = F2l2 (3)

Условие на то, что общий объем воды равен V:

S1h1 + S2h2 = V (4)

решая систему из (3) и (4) находим

(5)

Задача 3.

Из-за симметрии детали её центр масс должен находиться на оси проходящей через точку O и центр окружности. Но так как система находится в равновесии он также должен находиться на прямой OO'. Отсюда следует, что он просто совпадает с O. Пусть линейная плотность проволоки равна ρ. Тогда кольцо имеет массу 2πRρ и её центр A (он же является её центром масс) расположен на расстоянии R от точки O. А центр масс B ножки Т-образной детали, имеющей массу , расположен на расстоянии L/2 от O. При этом A, O, B лежат на одной прямой. Тогда, чтобы центр масс всей детали находился в точке O должно быть выполнено

ρL · L/2 = 2πρR · R (1)

(2)

Задача 4.

Пусть всего происходит N погружений, масса батискафа (без балласта и груза) равна M, а сила Архимеда, действующая на него равна FA. Каждый раз батискаф погружается с балластом массы mC/N и объемом mC/C. При этом батискаф сможет погрузиться, если суммарная сила тяжести действующая на батискаф и балласт больше суммарной силы Архимеда:

Mg + mCg/N > FA + mCρВg/C (1)

Аналогично, он сможет всплыть с золотом массы mЗ/N, если суммарная сила тяжести меньше выталкивающей силы:

mЗg/N + Mg < FA + mЗρВg/З (2)

Из (1) и (2) имеем:

mCmCρВ/ρС > mЗmЗρВ/ρЗmЗ < ≈ 28.85 тонн (3)

Задача 5.

Пусть масса образца в первом случае равна MЛ. А во втором случае она больше на MВ — масса воды заполняющей поры. Общий объем пор тогда равен VП = MВρВ, а объем чистого льда (без пор) в образце равен VЛ = MЛρЛ. Плотность образца в первом случае равна

(1)

Отсюда видно, что достаточно найти MВ/MЛ.

Пусть C — теплоемкость калориметра с водой, в который помещают образец. Уравнение теплового баланса в первом эксперименте:

C(T0T1) = λMЛ + cВMЛ(T1 − 0°C) (2)

Во втором:

C(T0T2) = λMЛ + cВ(MЛ + MВ)(T2 − 0°C) (3)

Деля (3) на (2) получаем:

(4)

Откуда ≈ 0.308 (5)

Подставляя это в (1) получаем

ρ ≈ 705 кг/м3 (6)

Задача 6.

Такое может происходить по следующей причине. Пусть дно кастрюли прилегает к плите какой-то своей частью. Тогда, очевидно, кипение воды в кастрюле у этой части дна будет происходить более интенсивно, чем в другой. А следовательно и количество появляющихся пузырей так же будет больше. Но это приведет к смещению жидкости в другую часть кастрюли, что, в свою очередь, приведет к тому, что она качнется и будет прилегать к плите уже другой своей частью. Теперь кипение станет более интенсивным там и т.д., процесс будет повторяться, и мы будем наблюдать качающуюся кастрюлю.

II вариант

Задача 1.

Во время движения троллейбуса покидать его не имеет смысла, так как его скорость больше скорости пешехода. Так же не выгодно выходить не в самом начале остановки, так как за время время стоянки можно пройти некоторое расстояние. Поэтому, очевидно, среди предполагаемых моментов выхода стоит рассматривать самые начала остановок. Пусть время начала i-ой остановки — ti. Тогда t1 = 2 мин, t2 = 6 мин, t3 = 9 мин, t4 = 12 мин, t5 = 16 мин. Выйти в момент ti выгоднее, чем в момент ti+1, если расстояние, Si которое Пётр проходит пешком (со скоростью u = 5 км/ч) за время ti+1ti больше, чем путь троллейбуса Li на этом же интервале, который просто находится из графика. Si = u(ti+1ti). А именно: S1 = 5 км/ч · 4 мин, S2 = 5 км/ч · 3 мин, S3 = 5 км/ч · 3 мин, S4 = 5 км/ч · 4 мин, и L1 = 20 км/ч · 3 мин, L2 = 10 км/ч · 1 мин, L3 = 5 км/ч · 2 мин, L4 = 5 км/ч · 2 мин . Видно, что Si > Li начиная с i = 2, поэтому выйти нужно в момент времени t2 = 6 мин.

Задача 2.

Пусть силы натяжения веревок прикрепленных к левому и правому верхним поршням равны соответственно F1 и F2. Давление воды у нижнего поршня равно атмосферному pA, так как нижний поршень уравновешен. Тогда давление у верхнего правого поршня равно p2 = pAρВgh2. Все силы действующие на правый верхний поршень скомпенсированы:

F2 + p2S2 = pAS2F2 = ρВS2h2g (1)

Аналогично

F1 = ρВS1h1g (2)

где h2 — высота столба воды между правым верхним и нижним поршнями. Правило рычага

F1l1 = F2l2 (3)

Условие на то, что общий объем воды равен V:

S1h1 + S2h2 = V (4)

решая систему из (3) и (4) находим

(5)

Задача 3.

Из-за симметрии детали её центр масс должен находиться на оси проходящей через точку O и центр окружности. Но так как система находится в равновесии он также должен находиться на прямой OO'. Отсюда следует, что он просто совпадает с O. Пусть линейная плотность проволоки равна ρ. Тогда кольцо имеет массу 2πRρ и её центр A (он же является её центром масс) расположен на расстоянии R от точки O. А центр масс B ножки Т-образной детали, имеющей массу , расположен на расстоянии L/2 от O. При этом A, O, B лежат на одной прямой. Тогда, чтобы центр масс всей детали находился в точке O должно быть выполнено

ρL · L/2 = 2πρR · R (1)

(2)

Задача 4.

Пусть всего происходит N погружений, масса батискафа (без балласта и груза) равна M, а сила Архимеда, действующая на него равна FA. Каждый раз батискаф погружается с балластом массы mМ/N и объемом mМ/М. При этом батискаф сможет погрузиться, если суммарная сила тяжести действующая на батискаф и балласт больше суммарной силы Архимеда:

Mg + mМg/N > FA + mМρВg/М (1)

Аналогично, он сможет всплыть с платиной массы mП/N, если суммарная сила тяжести меньше выталкивающей силы:

mПg/N + Mg < FA + mПρВg/П (2)

Из (1) и (2) имеем:

mМmМρВ/ρМ > mПmПρВ/ρПmП < ≈ 10.73 тонн (3)

Задача 5.

Пусть масса образца в первом случае равна MЛ. А во втором случае она больше на MВ — масса воды заполняющей поры. Общий объем пор тогда равен VП = MВρВ, а объем чистого льда (без пор) в образце равен VЛ = MЛρЛ. Плотность образца в первом случае равна

(1)

Отсюда видно, что достаточно найти MВ/MЛ.

Пусть C — теплоемкость калориметра с водой, в который помещают образец. Уравнение теплового баланса в первом эксперименте:

C(T0T1) = λMЛ + cВMЛ(T1 − 0°C) (2)

Во втором:

C(T0T2) = λMЛ + cВ(MЛ + MВ)(T2 − 0°C) (3)

Деля (3) на (2) получаем:

(4)

Откуда ≈ 0.466 (5)

Подставляя это в (1) получаем

ρ ≈ 930 кг/м3 (6)

Задача 6.

Такое может происходить по следующей причине. Пусть дно кастрюли прилегает к плите какой-то своей частью. Тогда, очевидно, кипение воды в кастрюле у этой части дна будет происходить более интенсивно, чем в другой. А следовательно и количество появляющихся пузырей так же будет больше. Но это приведет к смещению жидкости в другую часть кастрюли, что, в свою очередь, приведет к тому, что она качнется и будет прилегать к плите уже другой своей частью. Теперь кипение станет более интенсивным там и т.д., процесс будет повторяться, и мы будем наблюдать качающуюся кастрюлю.