Решения 7 класса (район 2007)

Подробности
Обновлено 29.03.2013 21:54

Решения задач районного тура олимпиады 2007 года для 7 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

I вариант

Задача 1.

За первые 5 минут (или, что то же самое, 1/12 ч) Петр проходит расстояние L1 = 5 км/ч · 1/12 ч = 5/12 км. Павел за это время проезжает L'1 = 11 км/ч · 1/12 ч = 11/12 км, тем самым обгоняя Петра. Следующие 5 минут Павел стоит; Петр же проходит еще 5/12 км. За следующие 10 минут Павел проезжает L'2 = 5.5 км/ч · 1/6 ч = 11/12 км, а Петр проходит еще L2 = 5 км/ч · 1/6 ч = 10/12 км. Таким образом, к 20-й минуте путь Петра составляет L3 = 5/12 км + 5/12 км + 10/12 км = 20/12 км, а путь Павла — L'3 = 22/12 км. Таким образом, Павлу нужно подождать, пока Петр пройдет оставшиеся L'3 − L3 = 2/12 км. Для этого нужно потратить время, равное 2/12 км / 5 км/ч = 1/30 ч = 2 мин. Таким образом, Павлу надо выйти на 22-й минуте после начала движения.

Задача 2.

Найдем максимальную массу воды, которую впитывает насквозь мокрое полотенце: m = 500 г − 150 г = 350 г. Это соответствует объему воды в 350 г / 1 г/см3 = 350 см3. Разделив этот объем на площадь полотенца, получим тот максимальный уровень осадков, который выдерживает полотенце, перед тем как с него потечет вода: 350 см3 / 1250 см2 = 2.8 мм. Заметим, что 2.8 мм < 5 мм, так что с полотенца начнет капать вода еще до того, как дождь закончится.

Задача 3.

Так как веревка однородная, то масса куска длиной x пропорциональна x: m = τx, где τ — некий коэффициент, точное значение которого нам не понадобится (по смыслу он является "линейной плотностью" веревки). Сила трения действует только на кусок веревки, лежащий на столе, при этом она пропорциональна массе этого куска.

Анализируя данные задачи, получаем, что равновесие веревки достигается, когда сила трения, действующая на кусок веревки длины 30 см − 10 см = 20 см равна силе тяжести, действующей на веревку длины 10 см, или, что то же самое, 1/3 веса всей веревки.

После того, как к веревке привязали бантик длиной 6 см, ее общая масса увеличилась в 36/30 = 1.2 раза. Заметим, что сила трения зависит только от длины веревки, лежащей на столе. Отсюда получаем, что веревка будет находиться в равновесии, если сила трения будет равна опять-таки 1/3 веса веревки, то есть, силе трения, которая действует на 24 см веревки. Таким образом, для равновесия на столе должно лежать 24 см.

Задача 4.

Рассмотрим бочку с водой и шариками. Обозначим объем, занятый водой через V = h1S, где S — площадь бочки. Уберем мысленно воду (масса при этом уменьшится на ρ1h1S) и заполним образовавшуюся пустоту железом (при этом масса увеличится на ρ2V = ρ2h1S). Общая масса получившейся железной бочки равна ρ2h2S. Тогда можно написать, что ρ2h2S = ρh2S − ρ1h1S + ρ2h1S. Отсюда можно найти, что = 2 м.

Задача 5.

Время движения часового складывается из времени, которое он тратит на прохождение трех промежутков: от 2 км до 4 км, от 4 км до 6 км, от 6 км до 8 км. На каждом из этих промежутков скорость часового постоянна, следовательно, можно вычислить время движения на каждом из этих участков. t1 = (4 км − 2 км)/2 км/ч = 1 ч, t2 = (6 км − 4 км)/6 км/ч = 20 мин, t3 = (8 км − 6 км)/8 км/ч = 15 мин. Таким образом, складывая полученные результаты, получаем: T = t1 + t2 + t3 = 1 ч 35 мин.

Задача 6.

Растяжения верхней и нижней пружин равны между собой: Δx1 = Δx2. Рассмотрим силы, действующие на платформу. Во-первых, это сила тяжести F1 = Mg. Во-вторых, пружины действуют на платформу с силой Гука F = kΔx, при этом они направлены противоположно силе тяжести, так как верхняя пружина растягивается, а нижняя, наоборот, сжимается. Таким образом, после того, как пружины растянулись, условие равновесия для плафтормы выглядит так: Mg = k1Δx + k2Δx, откуда .

II вариант

Задача 1.

За первые 5 минут (или, что то же самое, 1/12 ч) Петр проходит расстояние L1 = 7 км/ч · 1/12 ч = 7/12 км. Павел за это время проезжает L'1 = 16.8 км/ч · 1/12 ч = 7/5 км, тем самым обгоняя Петра. Следующие 5 минут Павел стоит; Петр же проходит еще 7/12 км. За следующие 10 минут Павел проезжает L'2 = 8.4 км/ч · 1/6 ч = 7/5 км, а Петр проходит еще L2 = 7 км/ч · 1/6 ч = 7/6 км. Таким образом, к 20-й минуте путь Петра составляет L3 = 7/12 км + 7/12 км + 14/12 км = 28/12 км, а путь Павла — L'3 = 14/5 км. Таким образом, Павлу нужно подождать, пока Петр пройдет оставшиеся L'3 − L3 = 7/15 км. Для этого нужно потратить время, равное 7/15 км / 7 км/ч = 1/15 ч = 4 мин. Таким образом, Павлу надо выйти на 24-й минуте после начала движения.

Задача 2.

Найдем максимальную массу воды, которую впитывает насквозь мокрое полотенце: m = 450 г − 150 г = 300 г. Это соответствует объему воды в 300 г / 1 г/см3 = 300 см3. Разделив этот объем на площадь полотенца, получим тот максимальный уровень осадков, который выдерживает полотенце, перед тем как с него потечет вода: 300 см3 / 1500 см2 = 2 мм. Заметим, что 2 мм > 1.5 мм, так что пляжник останется сухим во время дождя.

Задача 3.

Так как веревка однородная, то масса куска длиной x пропорциональна x: m = τx, где τ — некий коэффициент, точное значение которого нам не понадобится (по смыслу он является "линейной плотностью" веревки). Сила трения действует только на кусок веревки, лежащий на столе, при этом она пропорциональна массе этого куска.

Анализируя данные задачи, получаем, что равновесие веревки достигается, когда сила трения, действующая на кусок веревки длины 40 см − 15 см = 25 см равна силе тяжести, действующей на веревку длины 15 см.

Так как коэффициент пропорциональности между силой и массой веревки зависит только от материала веревки и больше ни от чего, можно написать пропорцию: 15 см / 25 см = x / 30 см, где x — длина свешивающейся части веревки. Отсюда x = 18 см. Учитывая то, что 10 см из этих 18 см уже висело до завязывания бантика, получим, что длина бантика равна 8 см.

Задача 4.

Рассмотрим бочку с водой и шариками. Обозначим объем, занятый водой через V = h1S, где S — площадь бочки. Уберем мысленно воду (масса при этом уменьшится на ρ2V = ρ2h1S) и заполним образовавшуюся пустоту железом (при этом масса увеличится на ρ2V = ρ2h1S). Общая масса получившейся железной бочки равна ρ2h2S. Тогда можно написать, что ρ2h2S = ρh2S − ρ1h1S + ρ2h1S. Отсюда найдем, что = 10210 кг/м3.

Задача 5.

Время движения часового складывается из времени, которое он тратит на прохождение трех промежутков: от 1 км до 3 км, от 3 км до 5 км, от 5 км до 7 км. На каждом из этих промежутков скорость часового постоянна, следовательно, мы можем вычислить время движения на каждом из этих участков. t1 = (3 км − 1 км)/6 км/ч = 20 мин, t2 = (5 км − 3 км)/3 км/ч = 40 мин, t3 = (7 км − 5 км)/1 км/ч = 2 ч. Таким образом, складывая полученные результаты, получаем: T = t1 + t2 + t3 = 3 ч.

Задача 6.

Растяжения верхней и нижней пружин равны между собой: Δx1 = Δx2 = 0.25 м. Рассмотрим силы, действующие на платформу неизвестной массы M. Во-первых, это сила тяжести F1 = Mg. Во-вторых, пружины действуют на платформу с силой Гука F = kΔx, при этом они направлены противоположно силе тяжести, так как верхняя пружина растягивается, а нижняя, наоборот, сжимается. Таким образом, после того, как пружины растянулись, условие равновесия для плафтормы выглядит так: Mg = k1Δx + k2Δx, откуда M = (k1+k2)Δx/g = 1 кг.