Решения 8 класса (город 2006)

Решения задач городского тура 2006 года для 8 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

Пусть центр палки находится на расстоянии x от правого конца, сила натяжения веревки намотанной на больший блок равна F2, на меньший - F1 (см. рис.). Напишем правило рычага для подвешенной палки относительно её центра масс: F2x = F1(R1+R2x). Правило рычага для сцепленных блоков дает: F2R2 = F1R1. Из этих двух уравнений получаем:

. То есть, центр палки находится ровно под центром блоков. Но тогда L = R2R1.

Ответ: L = R2R1.

Задача 2.

Пусть расстояние между платформами равно a = 9 м, а длина платформы равна b = 28 м.

Рассмотрим сначала движение собаки от одной платформы к другой. Она бежит по земле со скоростью v = 10 м/с. Платформа перед ней едет навстречу со скоростью u = 5 м/с. Тогда время движения между платформами равно t1 = a/(u+v) = 0.6 c. При этом собака передвигается на расстояние s1 = vt1 = 6 м. При движении по платформе скорость собаки относительно земли равна vu. Собака пробегает платформу за время t2 = b/v = 2.8 c. Ее перемещение в сторону хозяина относительно земли равно s2 = t2(vu) = 14 м. Таким образом, за один цикл своего движения она пробегает расстояние s = s1+s2 = 20 м за время τ = t1+t2 = 3.4 c. Тогда до встречи с хозяином пройдет ровно 6 таких циклов, так как 120 м/20 м = 6. Отсюда время, за которое собака достигнет своего хозяина, равно t = 6τ = 20.4 c.

Ответ: 20.4 с.

Задача 3.

Пусть толщина слоя воды в левом сосуде равна x, а изменение толщины льда равно y = L–l = 50 см (см. рис.). Из сохранения общей массы воды и льда: (h+x)ρВS = ВS+ЛS (1). Жесткость отдельного участка пружины обратно пропорциональна его длине, поэтому жесткость свободной части пружины будет равна K = kL/y. Сила давления воды снизу на ледяной поршень компенсирует силу тяжести, силу атмосферного давления сверху и силу со стороны пружины: p1S = ρЛg(Ly)S+pAS+K(xy) (2), где p1 давление непосредственно под поршнем, pA - атмосферное давление. Из равенства давлений внизу обоих сосудов: p1+ρВgx = pA+ρВgh (3). Подставляя p1 из (3), а также x из (1) в (2), получаем: . Подставляя численные данные и решая линейное уравнение на h, получаем h = 75 см.

Ответ: h = 75 см.

Задача 4.

Пусть масса жидкости X, вливаемой в воду, равна mX, масса исследованного образца жидкости - mX0 = 1 г. Вначале жидкость X, налитая в воду, будет нагреваться, а вода - охлаждаться. Когда температура жидкости X достигнет TК, она начнет выкипать, но вода продолжит охлаждаться. В предельном случае, когда ровно вся жидкость X выкипит, температура воды достигнет TК. Теплоемкость налитой жидкости равна CXmX/mX0, а полная теплота парообразования - QПmX/mX0. Тогда уравнение теплового баланса дает: .

Но mX = VXρX(TX) = mX0VX/V0(TX). Где V0(T) - объем исследованного образца при температуре T. Подставляя численные данные, получаем уравнение на TX: . Изобразив правую часть уравнения на графике (см. рис.), можно найти, что искомое TX ≈ 66°C.

Ответ: TX ≈ 66°C.

Задача 5.

Найдем сначала на сколько изменится радиус ворота с веревкой при подъеме груза на высоту H. Так как витки все время ложатся один на другой, то площадь круга, который образует ворот с веревкой возрастет на Hd - площадь, которую занимает кусок веревки толщины d и длины H. Тогда, если R1 - конечный радиус, то .

Пусть радиус ворота с веревкой равен R. По правилу рычага рабочему приходится прикладывать силу F = mgR/L. Вначале подъема сила равна F0 = mgR0/L, в конце - F1 = mgR1/L. За один оборот эта сила изменяется на ΔF = mgΔR/L, то есть за каждый оборот сила всегда изменяется на одну и туже величину, малую по сравнению с самой силой F. Пусть Ti = T(Fi) - время, потраченное на i-ый оборот ворота (Fi - средняя сила, которую приходится прикладывать рабочему за время этого оборота, связь между Ti и Fi дается графиком). Полное затраченное на подъем груза время тогда равно . Член суммы TiΔF имеет смысл площади маленького прямоугольника на графике зависимости F(T) с основанием ΔF и высотой Ti. Сумма таких площадей - площадь фигуры на графике, ограниченной кривой F(T), прямыми F = F1, F = F2 и осью F (см. рис.). В фигуру укладывается всего ≈36 клеток площадью ΔS = 2 Н·0.25 с = 0.5 Н·с. Тогда вся площадь S ≈ 18 Н·с. Затраченное время .

Ответ: t ≈ 36 c.

Задача 6.

Пусть за один вдох/выдох через грелку проходит некоторое количество воздуха с теплоемкостью C. Установившуюся температуру грелки обозначим за T. Тогда при выдохе, за счет охлаждения воздуха до температуры грелки, она получает количество теплоты Q1 = C(TЛT). При вдохе проходящий через грелку воздух нагревается до ее температуры, и грелка отдает количество теплоты Q2 = C(TT0). Также грелка отдает тепло в окружающую среду через боковые стенки. Мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур грелки и окружающей среды: P = α(TT0). Пусть лыжник делает один выдох и вдох за время τ. Считая, что температура грелки установилась, можно написать уравнение теплового баланса:

(1).

Пусть в первом случае период дыхания лыжника равен τ1. Тогда (2). Во втором случае период дыхания уменьшился вдвое. Подставляя в (1) T = T2 и τ = τ2 = τ1/2 и учитывая (2) выразим .

Ответ: T2 ≈ –1.3°C.

Задача 7.

Пусть в положении равновесия всей системы основание груза B находится на глубине hH под водой (см. рис.). По условию, если поднять груз на x (т.е. сдвинуть груз A к точке опоры рычага), основание будет касаться поверхности воды. Тогда из сохранения количества воды в бочке . Сила Архимеда, действующая на груз B, равна . Эта сила, с которой вода в бочке действует на груз B вверх. С такой же силой, но направленной вниз, груз B действует на воду в бочке вниз. Тогда сила давления бочки на рычаг равна N = Mg+FA. Сила же натяжения веревки, к которой подвешен груз, равна T = μgFA. Заметим, что эта же веревка проходит через блок, прикрепленный к левому концу рычага. Так как сумма всех сил на блок должна быть равна нулю, то на рычаг со стороны этого блока будет действовать сила, с вертикальной проекцией равной Т. Теперь можно написать само правило рычага: N·2L = mg·x-–T·3Lmgx = L(2Mg+3μgFA). Подставляя полученное выражение для FА, и решая уравнение, найдем . Это решение будет иметь смысл только в случае . При H>h FA = ρgHS1 и не зависит от x. В этом случае получаем . Также в обоих случаях нужно наложить условие x<3L.

Ответ: