Решения 7 класса (город 2006)

Подробности
Обновлено 30.03.2013 00:27

Решения задач городского тура 2006 года для 7 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

  1. Время, за которое водомерка, выплывшая из A, достигает B равно .
  2. Аналогично, время, которое тратит водомерка из B, чтобы добраться до A равно .
  3. За время своего движения водомерка встретит на своем пути тех водомерок, которые уже находились в дороге (N1) и тех, которые выплывут из B за то время, пока она сама преодолевает этот путь (N2), т.е. искомое число N = N1 + N2.
  4. Очевидно, что так как водомерки отправляются в путь каждые минуту (τ = 1 мин), то N1 = t2/τ = 120 и N2 = t1/τ = 40.
  5. Ответ: N = 40 + 120 = 160 водомерок.

Задача 2.

  1. Нарисуем все силы, действующие на палку.
  2. Запишем условия равновесия блоков: T2r = T1R (равенство плеч рычагов относительно точки O).
  3. Запишем условие равновесия палки (равенство плеч рычагов относительна центра масс палки): T2y = T1x. Отсюда видно, что y = r, а x = R, т.е. центр масс палки находится ровно под точкой O.
  4. Искомое расстояние, таким образом, равно:
  5. l = x + L/2 = R + L/2 = 2r + L/2 = 70 см

Задача 3.

Сначала положим поплавок известной плотности в жидкость. Измерим линейкой, на сколько поднялся уровень жидкости в стакане. Обозначим это число за h1. Далее аккуратно надавим на поплавок так, чтобы он весь оказался под водой; уровень жидкости в стакане при этом обозначим за h1'. Отсюда мы можем найти плотность неизвестной жидкости: ρ = ρ1h1'/h1, где ρ1 - известная плотность поплавка.

Повторяя аналогичную процедуру со вторым поплавком, получим: ρ2 = ρh2/h2'. В этом уравнении h2 и h2' - величины по смыслу аналогичные h1 и h1'. Подставляя значение ρ из опыта с первым поплавком, получим: ρ2 = ρ1h1'h2/h1h2'.

Задача 4.

  1. Сила, с которой конструкция давит на пол, равна разности силы тяжести конструкции и силы, которая действует со стороны воды. Также следует не забыть силу, с которой пружина (растянутая) тянет конструкцию ко дну. Итак: N = Fтяж + Fпруж – Fводы.
  2. Пользоваться законом Архимеда нельзя, так как вода не подтекает под конструкцию. Поэтому силу, с которой вода выталкивает конструкцию, будем искать как равнодействующую сил давления воды. При h < a очевидно, что Fводы = 0.
  3. Посмотрим, что будет при a ≤ h ≤ 2a. В этом случае столб воды будет оказывать выталкивающее действие на конструкцию; Fводы = 2ρgha2(h–a).
  4. При h ≥ 2a столб воды не только выталкивает, но и прижимает конструкцию к воде. Довольно просто показать, что Fводы = 2ρgha2(h–a) – 4ρgha2(h–2a).
  5. Учтем, что Fпруж = kΔx = 0.5ka = const, так что пружина просто дает постоянный вклад в силу давления.
  6. Таким образом, можно построить итоговый график силы давления. Он представляет собой три участка, на каждом из которых поведение силы давления является линейным.

Задача 5.

Будем решать задачу графически. Нарисуем график, на одной оси которого будем откладывать расстояние от стадиона в километрах, а по другой оси - время, за которое болельщик тратит на дорогу. Таким образом, получим следущий график:

Заметим, что точки "закусочная", "ресторан" и "дом" не лежат на одной прямой, а значит, использовались оба способа передвижения. Далее, если бы до ресторана и дома болельщик добирался пешком, то, как легко понять, до закусочной он дошел бы за время, меньшее 10 минут. Таким образом, до точки "закусочная" болельщик добирался пешком, а до точек "ресторан" и "дом" он добирался на такси.

Видно, что болельщик доберется до друга за наименьшее время только если он будет использовать такси; продолжая прямую, которая отвечает этому способу передвижения, до достижения 6 км, получим, что искомое время равно 25 мин.

Задача 6.

Отметим, что закон сообщающихся сосудов здесь применить впрямую не получится, так как жидкости, которыми заполнена трубка, различны.

Мысленно отметим уровень от дна, на котором начинается столбик воды в левом колене. Заметим, что на этом же уровне в правом колене давление верхнего столбика масла высотой h2 и ртути высотой x равно давлению столбика воды высотой h1 в левом колене.

Давление столбика жидкости высотой a равно ρga, где ρ - плотность жидкости. Таким образом, для нашей системы получаем: ρ2h1g = ρ3h2g + ρ1xg, откуда x = (ρ2h1–ρ3h2)/ρ1. Далее, из очевидных соображений, h1 + h3 = h2 + x, откуда h3 = x + h2 – h1 = 0.103 м.

Задача 7.

Известно, что давление в воде линейно увеличивается с глубиной, т.е. p(x) = p0 + ρgx, где p0 - атмосферное давление. Заметим, что атмосферное давление можно не учитывать, так как оно действует с обеих сторон поршня. Полное же давление воды на поршень равно среднему арифметическому давлений на поверхности воды и на глубине h, т.е. P = ρgh/2. Давление же со стороны пружины равно F/S = ka/h2. Так как система находится в равновесии, то силы, действующие на поршень, скомпенсированы. Отсюда получаем: a = ρgh3/2k = 0.5 м. Найдем объем воды. Заметим, что ah2 = Vводы + V, где V - объем погруженной части бруска. Отсюда Vводы = ah2/8. Опять приравнивая давления с обеих сторон поршня, получим, что ρgh'S/2 = kb, где S = h'h. Так как Vводы = ah2/8 (по условию), то h' = a/(8bh). Учитывая то, что h' = a/(8bh), получим, что b = a/4. Следовательно, a–b = 3a/4 = 0.375 м.