Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 10 класса (район 2006)

Подробности

Обновлено 30.03.2013 00:25

Решения задач районного тура 2006 года для 10 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Поскольку трение отсутствует, полный импульс системы из N+1 бусинки сохраняется. Обозначим массу легких бусинок за m, масса тяжелой бусинки по условию 2m, масса всех бусинок (N+2)m. Тогда для импульса получаем: p² = 2·2m·E. После соударений импульс сохраняется, и для кинетической энергии получаем: .

Выделившееся тепло равно разности начальной и конечной кинетических энергий: .

Ответ: .

Задача 2.

Можно перерисовать схему так, как показано на рисунке. Лампочки 1 и 2 не включены в новую схему, так как они подключены параллельно с проводами, т.е. "закорочены" и гореть не будут. Лампочка горит тем ярче, чем больше на ней напряжение и ток. Самая яркая лампочка, тогда будет 6, так как напряжение на ней максимально и равно напряжению источника. Из оставшихся лампочек 3,4,5 наиболее ярко будет гореть 4, так как ток через нее больше чем токи через лампочки 3,5 и равен сумме последних. Наконец лампочки 3 и 5 подключены параллельно и светятся одинаково слабо.

Ответ: (1,2),(3,5),4,6

Задача 3.

Коэффициент полезного действия определяется как отношение полезной и затраченной в данном процессе работы. Полезная работа в данном случае будет равна изменению потенциальной энергии воды в океане после погружения модуля и извлечения балласта. Обозначим глубину океана через h. Тогда: A_полезн = ρ₀Vgh. Затраченная работа равна работе по подъему балласта и вычисляется согласно определению. Сила, которую необходимо приложить для подъема груза, F = Mg - ρ₀V_{балласта}g = Mg(1-ρ₀/ρ). Соответственно A_затр = Mg(1-ρ₀/ρ)h. Коэффициент полезного действия: η = A_полезн/A_затр = ρ₀V/M(1-ρ₀/ρ). Заметим также, что неравенство η<1 обеспечивается условием погружения модуля с балластом.

Ответ: η = ρ₀V/M(1-ρ₀/ρ).

Задача 4.

В начальный момент времени, t = 0, точка находилась в точке x = 0. До тех пор, пока |x| < x₀ = 2 м, ускорение точки равно нулю, т.е. движение равномерное. Через время t₁ = x₀/v_0x, координата точки будет равна x₀. Далее, при x > x₀, некоторое время ускорение точки будет постоянным, отрицательным и направленным против скорости. В результате равнозамедленного движения точка остановится в момент времени t = t₁+t₂, t₂ = v_0x/|a_0x|, где a_0x = -1 м/с². Нетрудно заметить (см. график), что для возвращения в начало координат точке также понадобится время t₁+t₂. При t = 2(t₁+t₂) координата примет начальное движение, однако скорость поменяет знак. Далее движение повторится в области отрицательных x, и скорость поменяет знак еще раз. В итоге через время 4(t₁+t₂) = 12 c, материальная точка будет иметь исходные значения проекций координаты и скорости.

Ответ: 4(x₀/v_0x + v_0x/|a_0x|) = 12 с.

Задача 5.

Чай будет быстрее остывать в том стакане, в котором происходит помешивание. Далее перечислено несколько причин.

Необходимо отметить, что вода имеет достаточно малую теплопроводность, т.е. теплообмен может происходить только за счет конвекции. Перемешивание приводит к более активной передаче тепла между частями воды тем самым, увеличивая скорость теплообмена внутри стакана.

В результате помешивания над чашкой возникает "ветер", который увеличивает скорость оттока теплого воздуха и пара.

Третья причина: наличие ложки в стакане. У ложки достаточно большая теплопроводность, и она достаточно быстро нагревается от чая, забирая и передавая в воздух тепло.

II вариант

Задача 1.

Поскольку трение отсутствует, полный импульс системы из N+1 бусинки сохраняется. Обозначим массу легкой бусинки за m, масса тяжелых бусинок по условию 3m, масса всех бусинок (3N+1)m. Тогда для импульса получаем: p² = 2·m·E. После соударений импульс сохраняется, и для кинетической энергии получаем: .

Выделившееся тепло равно разности начальной и конечной кинетических энергий:

Ответ: .

Задача 2.

Можно перерисовать схему так, как показано на рисунке. Лампочка 1 не включена в новую схему, так как она подключена параллельно с проводом, т.е. "закорочена" и гореть не будет. Лампочка горит тем ярче, чем больше на ней напряжение и ток. Самая яркая лампочка, тогда будет 6, так как напряжение на ней максимально и равно напряжению источника. Из оставшихся лампочек 2,3,4,5 наиболее ярко будут гореть 3,5, так как ток через каждую из них равен сумме токов через лампочки 2,4. Наконец лампочки 2 и 4 подключены параллельно и светятся одинаково слабо.

Ответ: 1,(2,4),(3,5),6

Задача 3.

Коэффициент полезного действия определяется как отношение полезной и затраченной в данном процессе работы. Полезная работа в данном случае будет равна изменению потенциальной энергии груза после подъема его на нужную высоту и спуска шара на землю. Обозначим высоту подъема через h. Тогда: A_полезн = mgh. Затраченная работа равна работе по спусканию шара и вычисляется согласно определению. Сила, которую необходимо приложить для этого, F = ρ₀Vg - ρVg = (ρ₀-ρ)gV. Соответственно, A_затр = (ρ₀-ρ)gVh. Коэффициент полезного действия: η = A_полезн/A_затр = m/(ρ₀-ρ)V. Заметим также, что неравенство η<1 обеспечивается условием подъема шара с грузом.

Ответ: η = m/(ρ₀-ρ)V.

Задача 4.

В начальный момент времени, t = 0, координата точки x₁ = 3 м. Так как у точки нет начальной скорости, а ускорение отрицательное, она начнет движение влево. До тех пор, пока |x| > x₀ = 2 м, ускорение точки постоянно и точка движется равноускоренно. Через время t₁ = , a_0x = -1 м/с², точка достигнет области |x| < x₀, где ускорение равно нулю. Далее точка будет двигаться равномерно со скоростью v_1x = |a_0x|t₁, и в момент времени t₁+t₂, t₂ = x₀/v_1x достигнет начала координат. Далее движение повторится в области отрицательных x (см. график): при t = 2(t₁+t₂) будет x = -x₁, при t = 4(t₁+t₂) будет x = x₁. В итоге через время 4(t₁+t₂) = 4() с материальная точка вернется в начало своего движения.

Ответ: 4(x₀/v_1x + ) = 11.3 с.

Задача 5.

Чай будет быстрее остывать в том стакане, в котором происходит помешивание. Далее перечислено несколько причин.

Необходимо отметить, что вода имеет достаточно малую теплопроводность, т.е. теплообмен может происходить только за счет конвекции. Перемешивание приводит к более активной передаче тепла между частями воды тем самым, увеличивая скорость теплообмена внутри стакана.

В результате помешивания над чашкой возникает "ветер", который увеличивает скорость оттока теплого воздуха и пара.

Третья причина: наличие ложки в стакане. У ложки достаточно большая теплопроводность, и она достаточно быстро нагревается от чая, забирая и передавая в воздух тепло.