Решения 9 класса (район 2006)

Подробности
Обновлено 22.11.2013 10:25

Решения задач районного тура 2006 года для 9 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Рассмотрим положение равновесия. На нижний блок действует вес груза $Mg$, направленный вниз, и две силы натяжения нити $T$, направленные вверх. Поскольку блок находится в равновесии, $T=Mg/2$. Следовательно, пружина 2 растянута на $x_2 = Mg/2k_2$. Аналогично, пружина 1 растянута с силой $Mg/4$, и ее удлинение равно $x_1 = Mg/4k_1$.

Поскольку пружина 1 удлинилась на $x_1$, верхний блок опустился на $x_1/2$. Далее, поскольку верхний блок опустился на $x_1/2$, а пружина 2 удлинилась на $x_2$, нижний блок опустился на $(x_1/2 + x_2)/2 = x_1/4 + x_2/2$. Подставляя значения $x_1$ и $x_2$, получаем искомую велчичну $h=Mg/16k_1 + Mg/4k_2$.

Ответ: $h=15$ см.

Задача 2.

На поршень действуют три силы - сила давления воздуха $F_{д1}$, сила давления воды $F_{д2}$ и сила $F$, с которой его удерживают. Сила давления воздуха равна $F_{д1} = p_а S$, где $p_а$ — атмосферное давление, а $S=a^2$ — площадь поршня. Давление воды на поршень неодинаково в разных его частях, но общая сила давления может быть вычислена как $F_{д2} = p_{ср} S$, где $p_{ср}$ — среднее давление воды (давление в середине поршня). Поскольку на уровне $h$ от дна давление равно атмосферному, $p_{ср} = p_{а} + \rho g (h-a/2)$. Поскольку $h > a/2$, сила $F_{д2}$ больше $F_{д1}$, и для удержания поршня в равновесии необходимо прикладывать к нему силу, направленную вправо. Сила $F$ определяется из уравнения $F+F_{д1} = F_{д2}$ и равна $F= \rho g a^2 (h-a/2)$.

Ответ: $F=20$ Н.

Задача 3.

Если нагреватель включен, то лед начинает таять. При этом его объем уменьшается, что и приводит к опусканию поршня. Пока под поршнем есть и лед, и вода, их температура равна 0°C. Рассмотрим промежуток времени $t$. За это время нагреватель передает льду количество теплоты $Q = Pt$ ($P$ — мощность нагревателя). Этого количества теплоты достаточно, чтобы растаяла масса льда $m = Pt/\lambda$. Это приводит к уменьшению объема на $\Delta V = m/\rho_2 - m/\rho_1$. Если объем вещества под поршнем уменьшается на $\Delta V$, поршень опускается на расстояние $x=\Delta V/S = Pt (1/\rho_2 - 1/\rho_1)/\lambda S$. Следовательно, скорость поршня $v$ и мощность нагревателя $P$ связаны следующим соотношением: $$v = \dfrac{P}{\lambda S} \left( \dfrac{1}{\rho_2} - \dfrac{1}{\rho_1} \right)$$

Ответ: $v=1{,}12\cdot 10^{-5}$ м/с = 0,67 мм/мин.

Задача 4.

Начертим схему, эквивалентную данной в условии. Лампочка 3 горит ярче остальных, поскольку напряжение на ней равно напряжению источника. Лампочки 1 и 4 горят одинаково ярко, так как напряжение на них одинаково. Лампочка 2 горит ярче лампочки 1, поскольку через лампочку 2 течет вдвое больший ток.

Ответ: №1 и №4; №2; №3.

Задача 5.

Средний модуль скорости — это отношение пройденного точкой пути к затраченному времени. Рассмотрим движение вершины колеса на протяжении одного оборота. На рисунке последовательные положения одной точки обозначены одинаковыми буквами. В течение одного оборота вершина A описывает две дуги, каждая из которых составляет 1/3 целой окружности и имеет радиус, равный длине стороны колеса $a$. Таким образом, за один оборот путь точки A составляет $4\pi a/3$. Поскольку за один оборот колесо смещается на расстояние $3a$, весь путь состоит из $s/3a$ оборотов. Значит, полный путь точки A равен $4\pi s/9$, и средний модуль скорости $v=4\pi s/9t$.

Ответ: $v = 4 \pi s /9t$.

II вариант

Задача 1.

Рассмотрим положение равновесия. На нижний блок действует вес груза Mg, направленный вниз, и две силы натяжения нити T, направленные вверх. Поскольку блок находится в равновесии, T = Mg/2. Следовательно, пружина 2 растянута на x2 = Mg/2k2. Аналогично, пружина 1 растянута с силой Mg/4, и ее удлинение равно x1 = Mg/4k1.

Поскольку пружина 1 удлинилась на x1, верхний блок опустился на x1/2. Далее, поскольку верхний блок опустился на x1/2, а пружина 2 удлинилась на x2, нижний блок опустился на (x1/2 + x2)/2 = x1/4 + x2/2. Подставляя значения x1 и x2, получаем искомую велчичну h = Mg/16k1 + Mg/4k2

Ответ: h = 11,25 см.

Задача 2.

Обозначим искомую высоту h. На поршень действуют три силы - сила давления воздуха Fд1, сила давления воды Fд2 и сила F. Сила давления воздуха равна Fд1 = paS, где pa - атмосферное давление, а S = a2 - площадь поршня. Давление воды на поршень неодинаково в разных его частях, но общая сила давления может быть вычислена как Fд2 = pсрS, где pср - среднее давление воды (давление в середине поршня). Поскольку на уровне h от дна давление равно атмосферному, pср = pa + ρg(h - a/2). Поскольку для удержания поршня в равновесии необходимо прикладывать к нему силу, направленную вправо, сила Fд2 больше Fд1, и h > a/2. Высота h определяется из уравнения F + Fд1 = Fд2:

F = ρga2(h - a/2)
h = a/2 + F/ρga2

Ответ: h = 14 см.

Задача 3.

Если нагреватель включен, то лед начинает таять. При этом его объем уменьшается, что и приводит к опусканию поршня. Пока под поршнем есть и лед, и вода, их температура равна 0°C. Рассмотрим промежуток времени t. За это время нагреватель передает льду количество теплоты Q = Pt (P - мощность нагревателя). Этого количества теплоты достаточно, чтобы растаяла масса льда m = Pt/l. Это приводит к уменьшению объема на ΔV = m/ρ2 - m/ρ1. Если объем вещества под поршнем уменьшается на ΔV, поршень опускается на расстояние x = ΔV/S = Pt(1/ρ2 - 1/ρ1)/λS. Следовательно, скорость поршня v и мощность нагревателя P связаны следующими соотношениями:

,

Ответ: P = 1500 Вт.

Задача 4.

Начертим схему, эквивалентную данной в условии. Лампочка 4 горит ярче остальных, поскольку напряжение на ней равно напряжению источника. Лампочки 1 и 3 горят одинаково ярко, так как напряжение на них одинаково. Лампочка 2 горит ярче лампочки 1, поскольку через лампочку 2 течет вдвое больший ток.

Ответ: №1 и №3; №2; №4.

Задача 5.

Средний модуль скорости - это отношение пройденного точкой пути к затраченному времени. Рассмотрим движение вершины колеса на протяжении одного оборота. На рисунке последовательные положения одной точки обозначены одинаковыми буквами. В течение одного оборота вершина A описывает три дуги, каждая из которых составляет 1/4 целой окружности. Радиусы двух дуг равны длине стороны колеса a, а радиус третьей равен длине его диагонали a. Таким образом, за один оборот путь точки A составляет πa(1 + /2). Поскольку за один оборот колесо смещается на расстояние 4a, весь путь состоит из s/4a оборотов. Значит, полный путь точки A равен πs(1 + /2)/4, и средний модуль скорости .

Ответ: .