Решения 8 класса (район 2006)

Подробности
Обновлено 30.03.2013 00:26

Решения задач районного тура 2006 года для 8 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

I вариант

Задача 1.

Для плавающего тела действующая на него сила тяжести равна весу вытесняемой им жидкости. Для всех тел с одинаковой плотностью отношение объема и массы, очевидно, фиксировано. Поэтому у плавающих тел с одинаковой плотностью отношение объема погруженной части ко всему объему также совпадают. Следовательно, у плота будет выступать 1/4 всего объема.

Ответ: Плот выступает на высоту R.

Задача 2.

Перейдем в систему отсчета, связанную с водой в реке, т.е. движущуюся со скоростью u вправо. В этой системе волны на воде начинают расходиться от места, где упал топор, во все стороны с одинаковой скоростью v. Точка A же будет двигаться со скоростью u влево. Пусть волна дошла до точки A через время t. Тогда по теореме Пифагора (см. рис.)

(vt)2 = (ut)2 + d2 ⇒

Выражение имеет смысл только в случае v > u. Иначе волны на воде от топора никогда не достигнут точки A.

Ответ: , при v > u.

Задача 3.

Обозначим за m - массу поршня, S1 - площадь сечения широкой части трубки A, S2 - площадь сечения узкой части трубки A, m - массу поршня.

Рассмотрим момент, когда поршень начинает приподниматься. На поршень действует сила давления воздуха сверху p0S1, сила тяжести mg, сила давления воды снизу, равная (ρg(h-x)+p0)S2.

Тогда условие равновесие поршня в предельном случае: (ρg(h-x)+p0)S2 = p0S1 + mg.

(ρg(h-x)+p0)S2 = p0S1 + mg ⇒ mg = ρg(h-x)S2 - p0(S1-S2)

Пусть новый установившийся уровень воды в трубке B равен h', а поршень поднялся на высоту y относительно исходного положения (см.рис.). Так как суммарный объем воды сохраняется, то, очевидно,

Равенство давлений внизу трубок A и B:

. Подставляя полученные выражения для y и mg, можно выразить h':

Ответ: h' = 3 м.

Задача 4.

Рассмотрим стержень как рычаг, находящийся в равновесии, с точкой опоры, находящейся в его центре (в точке приложения силы тяжести). Пусть расстояние между точками крепления первой и второй пружиной равно L = 10 см. Тогда плечо силы F1 = k1Δx1, действующей на стержень со стороны первой пружины, равно 2L = 20 см. Плечо силы F2 равно L, F3 - 2L.

Тогда правило рычага:

k1Δx1·2L + k2Δx2·L = k3Δx3·2L

Отсюда просто найти Δx2:

Ответ: Δx2 = 5 см.

Задача 5.

Пусть подвижный блок передвинули на расстояние l вниз, совершив таким образом работу Fl. Тело на наклонной плоскости при этом сдвинулось на 2l и поднялось на высоту h, которую просто определить из подобия треугольников: . Так как трение в системе отсутствует, то совершенная работа равна изменению энергии тела: . Отсюда просто определить F.

Ответ: .

Задача 6.

На заднем стекле автомобиля капли исчезают со временем из-за испарения (в отличие от капель на переднем стекле, которые просто сдувает при достаточно быстрой езде). Во время езды заднее стекло автомобиля обдувается ветром, который уносит пары воды, возникающие у поверхности капель при их испарении. В случае покоящегося автомобиля образовавшийся насыщенный пар у поверхности капель препятствует их испарению.

Ответ: Капли исчезнут быстрее, если автомобиль движется.

II вариант

Задача 1.

Для плавающего тела действующая на него сила тяжести равна весу вытесняемой им жидкости. Для всех тел с одинаковой плотностью отношение объема и массы, очевидно, фиксировано. Поэтому у плавающих тел с одинаковой плотностью отношение объема погруженной части ко всему объему также совпадают. Следовательно, у плота будет выступать 1/6 всего объема.

Ответ: Плот выступает на высоту R.

Задача 2.

Перейдем в систему отсчета, связанную с водой в реке, т.е. движущуюся со скоростью u вправо. В этой системе волны на воде начинают расходиться от места, где упал топор, во все стороны с одинаковой скоростью v. Точка A же будет двигаться со скоростью u влево. Пусть волна дошла до точки A через время t. Тогда по теореме Пифагора (см. рис.)

(vt)2 = (ut)2 + d2 ⇒

Выражение имеет смысл только в случае t ≤ d/v, поскольку волны не могут достичь точки A за меньшее время.

Ответ: .

Задача 3.

Обозначим за m - массу поршня, S1 - площадь сечения широкой части трубки A, S2 - площадь сечения узкой части трубки A, m - массу поршня.

Рассмотрим момент, когда поршень начинает приподниматься. На поршень действует сила давления воздуха сверху p0S1, сила тяжести mg, сила давления воды снизу, равная (ρg(h-x)+p0)S2.

Тогда условие равновесие поршня в предельном случае: (ρg(h-x)+p0)S2 = p0S1 + mg.

(ρg(h-x)+p0)S2 = p0S1 + mg ⇒ mg = ρg(h-x)S2 - p0(S1-S2)

Пусть новый установившийся уровень воды в трубке B равен h', а поршень поднялся на высоту y относительно исходного положения (см.рис.). Так как суммарный объем воды сохраняется, то, очевидно,

Равенство давлений внизу трубок A и B:

. Подставляя полученные выражения для h' и mg, можно выразить y:

Ответ: y = 1.6 м.

Задача 4.

Рассмотрим стержень как рычаг, находящийся в равновесии, с точкой опоры, находящейся в его центре (в точке приложения силы тяжести). Пусть расстояние между точками крепления первой и второй пружиной равно L = 10 см. Тогда плечо силы F1 = k1Δx1, действующей на стержень со стороны первой пружины, равно 3L = 30 см. Плечо силы F2 равно 2L, F3 - 3L.

Тогда правило рычага:

k1Δx1·3L + k2Δx2·2L = k3Δx3·3L

Отсюда просто найти k2:

Ответ: k2 = 0.75 кН/м.

Задача 5.

Пусть подвижный блок передвинули на расстояние l вниз, совершив таким образом работу Fl. Тело на наклонной плоскости при этом сдвинулось на 2l и поднялось на высоту h, которую просто определить из подобия треугольников: . Так как трение в системе отсутствует, то совершенная работа равна изменению энергии тела: . Отсюда просто определить m.

Ответ: .

Задача 6.

На заднем стекле автомобиля капли исчезают со временем из-за испарения (в отличие от капель на переднем стекле, которые просто сдувает при достаточно быстрой езде). Во время езды заднее стекло автомобиля обдувается ветром, который уносит пары воды, возникающие у поверхности капель при их испарении. В случае покоящегося автомобиля образовавшийся насыщенный пар у поверхности капель препятствует их испарению.

Ответ: Капли исчезнут быстрее, если автомобиль движется.