Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 7 класса (район 2006)

Подробности

Обновлено 30.03.2013 00:26

Решения задач районного тура 2006 года для 7 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

I вариант

Задача 1.

В процессе перецепления локомотива расстояние между любыми двумя вагонами, очевидно, не менялось, так как вагоны не расцеплялись. Таким образом, независимо от способа перецепления локомотива, в процессе перецепления вагоны прошли одинаковое расстояние. Также можно заметить, что и до промежуточной остановки, и после нее вагоны также проходили одинаковый путь. Итого, пути вагонов, в которых ехали Петр и Павел, одинаковы.

Задача 2.

Обозначим начальную плотность кубика за ρ₀. По определению , где m - масса кубика, a - начальная длина ребра. После теплового расширения длина ребра стала равной a+0,005·a. Масса кубика не изменилась, поэтому его плотность стала равна . Интересующая нас величина равна .

Задача 3.

Рассмотрим все этапы движения крайнего левого кубика. Если пройденное им расстояние меньше 5 см (то есть, тянут только один кубик), то сила, которую нужно для этого прикладывать равна, по условию, 10 Н. Как только левый кубик касается следующего, сила скачком меняется до 20 Н, так как приходится тянуть уже два кубика. Продолжая рассуждения таким же образом, получим, что искомый график таков:

Обратите внимание, что после 20 см можно тянуть всю конструкцию с постоянной силой F = 40 Н сколь угодно долго.

Задача 4.

Запишем условия равенства давления, которое верхний кубик оказывает на среднее тело, и давления, которые два верхних тела оказывают на нижний кубик: . Также запишем условия равенства давлений между всей конструкцией и столом и давлением, которые два верхних тела оказывают на нижний кубик: . Из этого уравнения легко найти, что . Подставим это выражение в первое уравнение: . (В последнем уравнении использована численная связь площадей: S₃ + S₂ = S₁). Теперь найдем m₂: .

Задача 5.

Общий расход топлива за 7 часов Q складывается из трех частей: расход топлива в первые 2 часа, в третий час и в последние четыре часа пути: Q = Q₁ + Q₂ + Q₃. Подсчитаем каждую из этих величин. В первые два часа автомобиль прошел путь s₁ = v₁t₁ = 30 км/ч · 2 ч = 60 км. Так как он двигался со скоростью 30 км/ч, то расход составлял 7 л/(100км). Таким образом, за первые два часа пути он потратил Q₁ литров топлива: . Аналогично, . Наконец, . В бензобаке автомобиля осталось 50 л - (Q₁ + Q₂ + Q₃) = 50 л - (4,2 л + 2 л + 16,8 л) = 27 литров топлива.

Задача 6.

Собака сможет успешно взять след, если среди молекул воздуха будет достаточное количество молекул пахучего вещества, которое оставляет после себя человек или любой другой объект. В воздухе, на достаточном расстоянии от земли, из-за ветра и диффузии эти молекулы достаточно быстро рассеются, и концентрация пахучих веществ значительно уменьшится уже через достаточно малое время после того, как человек оставил запах. Вблизи земли влияние этих факторов (ветра и диффузии) в значительной степени уменьшено и, следовательно, вероятность успешного взятия следа больше.

Задача 7.

а) Сначала получим ответ на первый вопрос задачи. Если положить груз в чашку A, то пружина №2 при этом не растянется. Таким образом, чашка A должна оказаться на высоте 30 см от пола. Для этого удлинение пружины №1 должно быть равно Δl = (2 м - 0,3 м) - 0,3 м = 1,4 м. Определим, чему должна быть равна масса груза в чашке A, чтобы произошло такое удлинение пружины. Пружина удлиняется под действием силы тяжести, действующей на массивную чашку m_A и груз M: (m_A + M)g = k₁Δl. Отсюда находим, что M = 2 кг.

б) Теперь посмотрим, что будет, если положить груз в нижнюю чашку. В этом случае растянутся уже две пружины. Подсчитаем удлинение каждой из них в отдельности: (все аналогично первому случаю); (удлинение второй пружины происходит под действием силы тяжести, приложенной только к грузу). Чтобы достать до пола, чашка B должна опуститься на Δl = 1,4 м, как и в предыдущем случае. Итого получаем уравнение: . Решая его с учетом численных данных, находим, что M = 1,3 кг.

II вариант

Задача 1.

В процессе перецепления локомотива расстояние между любыми двумя вагонами, очевидно, не менялось, так как вагоны не расцеплялись. Таким образом, независимо от способа перецепления локомотива, в процессе перецепления вагоны прошли одинаковое расстояние. Также можно заметить, что и до промежуточной остановки, и после нее вагоны также проходили одинаковый путь. Итого, пути вагонов, в которых ехали Петр и Павел, одинаковы.

Задача 2.

Обозначим начальную плотность кубика за ρ₀. По определению , где m - масса кубика, a - начальная длина ребра. После теплового расширения длина ребра стала равной a - 0,001·a. Масса кубика не изменилась, поэтому его плотность стала равна . Интересующая нас величина равна .

Задача 3.

Рассмотрим все этапы движения крайнего левого кубика. Если пройденное им расстояние меньше 5 см (то есть, тянут только один кубик), то сила, которую нужно для этого прикладывать равна, по условию, 10 Н. Как только левый кубик касается следующего, сила скачком меняется до 20 Н, так как приходится тянуть уже два кубика. Продолжая рассуждения таким же образом, получим, что искомый график таков:

Обратите внимание, что после 30 см можно тянуть всю конструкцию с постоянной силой F = 50 Н сколь угодно долго.

Задача 4.

Запишем условия равенства давления, которое верхний кубик оказывает на среднее тело, и давления, которые два верхних тела оказывают на нижний кубик: . Отсюда находим, что . Теперь запишем условие равенства давлений между всей конструкцией и столом и давления между двумя верхними телами: . Отсюда

Задача 5.

Общий расход топлива за 5 часов Q складывается из трех частей: расход топлива в первые 1 часа, во второй час и в последние три часа пути: Q = Q₁ + Q₂ + Q₃. Подсчитаем каждую из этих величин. В первый час автомобиль прошел путь s₁ = v₁t₁ = 30 км/ч · 1 ч = 30 км. Так как он двигался со скоростью 30 км/ч, то расход составлял 7 л/(100км). Таким образом, за первые два часа пути он потратил Q1 литров топлива: . Аналогично, . Наконец, . Всего было потрачено Q₁ + Q₂ + Q₃ = 2,1 л + 2 л + 12,6 л = 16,7 литров топлива.

Задача 6.

Собака сможет успешно взять след, если среди молекул воздуха будет достаточное количество молекул пахучего вещества, которое оставляет после себя человек или любой другой объект. В воздухе, на достаточном расстоянии от земли, из-за ветра и диффузии эти молекулы достаточно быстро рассеются, и концентрация пахучих веществ значительно уменьшится уже через достаточно малое время после того, как человек оставил запах. Вблизи земли влияние этих факторов (ветра и диффузии) в значительной степени уменьшено и, следовательно, вероятность успешного взятия следа больше.

Задача 7.

а) Сначала получим ответ на первый вопрос задачи. Пружина №2 растягивается под действием силы тяжести, которая приложена к массивной чашке B: . Таким образом, чашка A должна оказаться на высоте 55 см от пола. Для этого удлинение пружины №1 должно быть равно Δl₁ = (2 м - 0,5 м) - 0,55 м = 0,95 м. Определим, чему должна быть равна масса груза в чашке A, чтобы произошло такое удлинение пружины. Пружина удлиняется под действием силы тяжести, действующей на массивную чашку m_B и груз M: (m_B + M)g = k₁Δl₁. Отсюда находим, что M = 2,18 кг.

б) Теперь посмотрим, что будет, если положить груз в нижнюю чашку. В этом случае растянутся уже две пружины. Подсчитаем удлинение каждой из них в отдельности: (все аналогично первому случаю); (удлинение второй пружины происходит под действием силы тяжести, приложенной только к грузу). Суммарное удлинение этих пружин должно быть равно, очевидно, Δl = 2 м - 0,5 м - 0,5 м = 1 м. Итого получаем уравнение: . Решая его с учетом численных данных, находим, что M = 1,34 кг.