Решения 11 класса (город 2005)

Подробности
Обновлено 30.03.2013 11:23

Решения задач городского тура 2005 года для 11 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5

 

 

Задача 1.

  • Введем оси координат ОХ, ОY (см. рис.) и спроектируем начальную скорость снаряда u на эти оси. В проекции на горизонтальную ось и снаряд и машина двигаются равномерно, поэтому, чтобы снаряд попал в машину, их горизонтальные скорости должны быть равны, т.е. ux = V0.
  • В проекции на ось OY зависимость координаты снаряда от времени имеет вид Y(t) = H + uyt - gt2/2 (здесь H - высота обрыва).
  • В момент попадания снаряда в машину координата Y(t1) = 0. Отсюда, решая квадратное уравнение H + uyt1 - gt12/2 = 0 и, отбрасывая отрицательный корень, получаем время полета снаряда .
  • Так как существует некоторая максимальная скорость вылета снаряда umax, ей соответствует максимальная возможная вертикальная проекция начальной скорости снаряда . Дуло пушки может быть наклонено и выше и ниже по отношению к горизонту, так что вертикальная проекция начальной скорости снаряда может меняться от -umaxy до umaxy. Время полета снаряда при этом меняется от минимального (1) до максимального (2).
  • С другой стороны, по условию за это время машины проходят расстояние от минимального x = tV0 до максимального y = TV0. Выражая отсюда t и Tи подставляя в (1) и (2) получаем систему уравнений
    решая которую относительно umaxy и H, получаем , . Зная umaxy, нетрудно восстановить и максимальную скорость вылета снарядов:

Задача 2.

  • Обозначим через V = 3·10-3 м3 объем контейнера, n = 9/18 = 0.5 Моль - количество вещества воды в контейнере, TН = 273 К - начальную температуру, T - конечную температуру системы, p - парциальное давление пара после того, как вся вода превратилась в пар, p1 = 1 атм. - парциальное давление гелия при температуре TН, p2 - парциальное давление гелия при температуре T.
  • Обсудим сначала испарение. Вода в контейнере продолжает испаряться, если парциальное давление пара над жидкостью меньше давления насыщенных паров при данной температуре.
  • График в условии задачи одновременно представляет зависимость температуры насыщенных паров воды от давления насыщенных паров, так как именно условие равенства внешнего давления давлению насыщенных паров воды при данной температуре является условием кипения.
  • Когда вся вода испарилась, парциальное давление паров воды определяется уравнением Клайперона-Менделеева: pV = nRT (1). Подставляя численные значения V, n и универсальной газовой постоянной R = 8.3 с учетом множителя 105, появляющегося при пересчете давления в единицах атмосферного давления получим T = 72p, где T измеряется в градусах Кельвина, а p - в единицах атмосферного давления. Полученное уравнение состояния соответствует на данном в условии графике прямой, выходящей из точки с координатами p = 0, T = -273°C и пересекающей график температуры от давления насыщенных паров в точке А (см. рис). Точка А и определяет минимальную температуру, при которой вся вода системы может существовать в виде паров, что составляет примерно 158°C.
  • Рассмотрим теперь процесс кипения. Как уже упоминалось, кипение происходит, если давление насыщенных паров воды при данной температуре равно давлению газа над жидкостью. Это давление складывается из парциального давления воды, определяемого из формулы (1) и парциального давления гелия p2, который нагревается изохорически от температуры TН до конечной температуры T. Для гелия в контейнере справедлив закон Шарля: p1/TН = p2/T, и полное давление газа системы, когда вся вода испарилась, равно . Подставляя сюда все численные значения, получим T = 57pп, где T измеряется в градусах Кельвина, а pп - в единицах атмосферного давления. Полученное уравнение состояния соответствует на данном по условию графике прямой, выходящей из точки с координатами p = 0, T = -273°C и пересекающей график температуры от давления насыщенных паров в точке B (см. рис). Точка B и определяет минимальную температуру, при которой вся вода системы выкипит, т.е. примерно 168°C.
  • Примечание. Чтобы вода именно выкипела, система должна быть доведена до 168 градусов достаточно быстро, чтобы вода не успела вся испариться при более низкой температуре, так и не закипев.

Задача 3.

  • Рассмотрим, при каком условии четырехугольник станет параллелограммом, т.е. изображения его противоположных сторон окажутся параллельными. Лучи, идущие вдоль сторон четырехугольника окажутся после линзы параллельными, если их пересечение попадает в фокальную плоскость линзы (см. рис. 1). Построим эти пересечения - точки А и В (см. рис. 2) и проведем прямую АВ. Любая линза, для которой АВ - фокальная плоскость отобразит четырехугольник в параллелограмм.
  • Чтобы параллелограмм оказался прямоугольником, необходимо, чтобы лучи, идущие вдоль смежных сторон четырехугольника, после прохождения линзы стали взаимно перпендикулярными. Рассмотрим такие лучи - А1А и В1В (АВ по-прежнему фокальная плоскость линзы). Пусть эти лучи, встретившись в некоторых точках с линзой, преломились, и оказались перпендикулярными друг другу. Рассмотрим лучи, которые проходят через центр линзы, параллельные этим двум преломленным (лучи А2А и В2В). Эти лучи не преломляются и пересекаются в точке О (центре линзы), и, с другой стороны, в фокальной плоскости попадают в точки А и В соответственно (все параллельные друг другу до линзы лучи после линзы собираются в одну точку, лежащую в фокальной плоскости), поэтому треугольник АОВ является прямоугольным. Геометрическое место точек О, образующих вместе с отрезком АВ прямоугольный треугольник - полуокружность, построенная на АВ как на диаметре. Итак, любая линза, у которой АВ - фокальная плоскость, а центр линзы лежит на построенной полуокружности (см. рис.4) переводит наш четырехугольник в прямоугольник.
  • Чтобы прямоугольник оказался квадратом, его диагонали должны быть взаимно перпендикулярны. Таким образом, лучи, идущие вдоль диагоналей исходного четырехугольника, после прохождения линзы должны стать взаимно перпендикулярными. Построим точки C и D - точки пересечения этих лучей с фокальной плоскостью. Рассуждая как в предыдущем пункте, несложно показать, что образы диагоналей взаимно перпендикулярны, если центр линзы лежит на полуокружности, построенной на CD как на диаметре. Поскольку теперь центр линзы принадлежит двум полуокружностям, мы однозначно определили его положение - точку Х.
  • Итак, линза, с центром в точке Х, расположенная параллельно отрезку АВ и имеющая фокальную плоскость АВ, переводит данный по условию четырехугольник в квадрат.

Задача 4.

  • Когда труба разгоняется, проводящий контур, расположенный на ней, все быстрее раскручивается во внешнем магнитном поле. При этом возникает ЭДС индукции, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через контур. Через контур течет ток, вследствие чего в проводнике выделяется джоулево тепло. Чем быстрее крутится контур, тем быстрее меняется поток магнитного поля через контур, тем большее ЭДС возникает в системе и тем большее тепло выделяется в контуре. Все меньшая часть потенциальной энергии гравитационного поля переходит в кинетическую энергию, так как все больше энергии переходит в тепло. В некоторый момент времени труба вообще перестает разгоняться - устанавливается некоторая средняя скорость V движения трубы.
  • Рассмотрим этот "установившийся" режим. Пусть в некоторый момент контур образует угол j с горизонтом (см. рис.). Поток внешнего магнитного поля через контур при этом равен F = BLDcosj. Предположим, изменение скорости движения трубы по сравнению со средней мало. Тогда можно ввести угловую скорость трубы w = 2V/D и выразить через нее зависимость угла j от времени: j =wt (1). Возникающая ЭДС индукции при этом будет равна , т.е. в контуре возникает переменное синусоидальное напряжение.
  • Джоулево тепло, выделяющееся в системе в единицу времени будет при этом равно . За один оборот трубы при этом выделится тепло , где Dt = pD/V - период обращения трубы. Этот ответ можно получить либо вспомнив определение эффективного напряжения синусоидального источника и выделяющейся на нем мощности, либо непосредственно найдя среднее значение квадрата синуса за период, воспользовавшись представлением , и сообразив, что первое слагаемое (1/2) не меняется со временем, а среднее значение косинуса cos2wt за период равно нулю.
  • За один оборот труба опустится на расстояние pDsina. Соответствующая этому потенциальная энергия mgpDsina переходит в джоулево тепло. Отсюда следует равенство , из которого и выражаем установившуюся скорость: .
  • Задача, допускает более аккуратное решение, требующее, однако, хорошего владения математическим аппаратом. Действительно, откажемся от предположения (1), считая теперь функцию j(t) нелинейной, а величину угловой скорости w и скорости V зависящими от времени. Выражение для ЭДС индукции примет при этом вид , а джоулево тепло, выделяющееся в единицу времени: . Потенциальная энергия трубы P = mgh переходит в кинетическую энергию трубы K = mV2, а также в тепло, т.е. . С учетом и получим уравнение , которое легко переписать, выразив V через w (с учетом Dw/2), и разделив на wD, в виде
    .
    Проинтегрируем это уравнение на временном интервале [0, nDt] (за время, когда труба, двигаясь в стационарном режиме, совершила большое число n оборотов). При этом в установившемся режиме второе слагаемое можно отбросить (так как оно пропорционально , и при большом n становится мало по сравнению с остальными вкладами, пропорциональными, как мы увидим, числу оборотов n). Это приводит к уравнению , в котором мы для правой части выполнили уже рассмотренное усреднение по углу j величины sin2j. Отсюда период оборота колеса , что после использования очевидной формулы , дает приведенный в предыдущем пункте ответ.

Задача 5.

  • Обозначим через E1, E2 напряженности, которые квадрат создает в точках, где расположены точечные заряды (см. рис). Тогда на заряды действует силы q0E1, q0E2. Очевидно, искомое ускорение при этом будет зависеть только от проекций сил, действующих на рычаг на направление OY, перпендикулярное рычагу. Поскольку эти проекции раскручивают рычаг в противоположные стороны, ускоре-ние зарядов равно a1 = q0(E1y-E2y)/(2m)
  • Итак, задача свелась к нахождению величины (E1y-E2y). Вместо того, чтобы искать проекцию напряженности E1y в точке 1, можно сдвинуть заряженный квадрат на r/2 вправо и искать напряженность в центре рычага, в точке 3. Аналогично, вместо того, чтобы искать величину -E2y в точке 2, можно сдвинуть заряженный квадрат на r/2 влево, изменить знак его заряда на противоположный и искать напряженность в центре рычага, в точке 3. Таким образом, поле системы из двух противоположно заряженных квадратов, сдвинутых относительно исходного квадрата вправо и влево на r/2, создает в точке 3 напряженность , проекцию которой на ось OY мы и будем теперь искать.
  • Итак, требуется найти напряженность, создаваемую системой из двух противоположно заряженных квадратов, сдвинутых друг относительно друга на расстояние r. Понятно, что там, где квадраты перекрываются, они компенсируют заряды друг друга, поэтому достаточно найти в точке 3 напряженность системы двух узких (r << a) полосок (см. заштрихованные полоски на рис.3).Сдвинемся от точки 3 вверх и вниз на малое расстояние x/2. Обозначим потенциал электрического поля в этих точках jВВЕРХ и jНИЗ. Поскольку расстояние между получившимися точками мало по сравнению с размерами системы, электрическое поле между этими точками можно считать однородным, и его проекцию на ось OY можно выразить через потенциалы по формуле Ey = (jВВЕРХ - jНИЗ)/x. С другой стороны, рассуждая как в предыдущем пункте, можно показать, что разность потенциалов (jВВЕРХ - jНИЗ) можно найти, рассмотрев систему, состоящую из двух полосок, сдвинутых относительно исходных вверх на x/2, и двух полосок, имеющих заряды противоположные исходным и сдвинутых относительно исходных полосок вниз на x/2. Вычисление потенциала такой системы в точке 3 дает в точности разность (jВВЕРХ - jНИЗ). Сдвинутые друг относительно друга противоположно заряженные полоски также компенсируют потенциалы друг друга в области, где они пересекаются, так что достаточно считать потенциал системы, состоящей из 4 маленьких прямоугольничков шириной r и высотой x (см. рис.4). При этом плотность заряда прямоугольничков такая же, как у исходного квадрата s = Q/a2, левый верхний и правый нижний прямоугольнички на рис. 4 заряжены положительно, а остальные - отрицательно. Поскольку и r и x малы относительно а (r по условию задачи, x был выбран малым нами в ходе решения), прямоугольнички можно заменить на точечный заряды, равные по модулю q = srx = Qrx/a2. Потенциал в точке 3, который эти заряды будут создавать, равен, очевидно . Отсюда , и, очевидно, .