Решения 7 класса (город 2005)

Подробности
Обновлено 30.10.2013 11:13

Решения задач городского тура 2005 года для 7 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

  1. Запишем условия равновесия тела массы $m$:
    $T_1 + T_2 = mg$.
  2. Аналогично для груза массы $M$:
    $T_1 = Mg$.
  3. Блок невесом и неподвижен, поэтому условия равновесия для него запишутся в виде: $T=2T_1$.
  4. Отсюда следует: $T=2Mg$; $T_2 = (m-M)g$.
  5. Рычаг AC находится в равновесии, поэтому момент силы $T$ равен моменту силы $T_2$. Запишем правило рычага: $2MgL = 2L (m-M)g$, где $L = AB$.
  6. Из последнего уравнения следует: $M/m = 1/2$.

Задача 2.

Назовем исходной станцию, на которой машинист первый раз увидел поезд, следующий в противоположную сторону (на рисунке она обозначена цифрой "0").

  1. Машинист может увидеть встречный поезд только по происшествии времени, которое кратно 4 минутам (именно в эти времена поезд будет на платформе).
  2. Поезда, следующие в противоположную сторону, расположены от исходной станции в 3, 6, 9, 12, ... минутах.
  3. Поезда будут одновременно на одной станции, если поезд, идущий в противоположную сторону, доедет до исходной станции за время, кратное одновременно 3 и 4 минутам. Из полученных чисел для правильного ответа следует взять каждое второе, т.к. поезда едут в противоположные стороны. То есть, получим: 24, 48, 72, ...
  4. Ближайший поезд - тот, который от исходной станции находится в 24 минутах езды.
  5. Таким образом, поезда одновременно будут на платформе через 12 минут.

Задача 3.

  1. Плотность $\rho_2$ больше плотности $\rho_1$, поэтому по закону Архимеда второй шар больше погружен в воду.
  2. Следовательно, через некоторое время возникнет ситуация, когда более плотный шар уже коснется дна аквариума, а менее плотный — еще нет.
  3. Таким образом, через некоторое время после открытия пробки аквариум повернется по часовой стрелке (в сторону более плотного шара).

Задача 4.

  1. Веревка, соединяющая груз $m_2$ с блоком B не натянута, так как имеется пружина.
  2. Условие равновесия груза $m_1$: $T_1 = m_1 g$.
  3. Так как блок B невесом, то $T=2T_1$.
  4. Условие равновесия груза $M$: $T=Mg$.
  5. Сравнивая выражения (3) и (4), получим: $M=2m_1 = 100$г.

Задача 5.

  1. Заметим, что время, после которого человеку уже некуда спешить — 7 секунд. По графику видно, что через 7 секунд зазор станет меньше требуемых 0,6 метра.
  2. Вычислим путь поезда за 7 секунд. По условию, скорость постоянна и равна 10 км/ч. Следовательно, $S=vt$ = 10 км/ч · 7 с = 19,4 м.
  3. Вычислим путь пассажира. Для этого разобьем процесс его движения на куски, на которых он двигался равномерно. Таких кусков четыре.
  4. На каждом из них $s = vt$, поэтому $S$ = 2,5 м + 1,667 м + 6,667 м + 9,72 м ≈ 20,6 м.
  5. Вспомним, что сначала дверь находилась на расстоянии 4 метра от пассажира. Следовательно, по прошествии 7 секунд от двери пассажира отделяет расстояние $L$ = 19,4 - 20,6 + 4 = 2,8 м.
  6. Таким образом, пассажир не успевает попасть в вагон.

Существует менее трудоемкое решение, связанное с симметричностью графика относительно трехсекундной отметки. Можно заметить, что если откладывать относительную скорость (скорость пассажира относительно поезда) в зависимости от времени, то через 6 секунд расстояние между пассажиром и поездом будет в точности таким, каким оно было в самом начале (так как площади под ломаными равны по модулю и различаются знаком).

Задача 6.

  1. Заметим, что из конструкции блоков следует, что $2 T_{GD} = T_{FA}$.
  2. Запишем условие равновесия для поршня: $( \rho g H_1 + p_0) S = T_{GD}$, где $H_1$ — глубина поршня в положении равновесия.
  3. Аналогично для перевернутого сосуда: на него действует сила со стороны воды, атмосферное давление, сила тяжести и сила натяжения веревки. Следовательно, $(\rho g h_1 + p_0 ) S + mg = T_{FA}$.
  4. Найдем связь между $h, H, h_1, H_1$. Из конструкции блоков видно, что перемещение поршня вдвое больше перемещения сосуда, следовательно, $H_1 - H = 2 (h_1 - h)$.
  5. Из уравнений (1) - (4) получаем: $$h_1 = \dfrac{1}{3} \left[ \dfrac{m}{S\rho} - \dfrac{p_0}{\rho g} + 4 h - 2 H \right] =4 \mbox{ м.}$$
  6. Заметим, что необходимым условием правильности нашего решения является предположение, что дно сосуда не выступает из воды, т.е. $h_1>0$. Это условие, очевидно, выполнено. Следующим условием является то, что сосуд с поршнем не должен "схлопываться", т.е. $H_1 > h_1$. Нетрудно убедиться, что в нашем случае $H_1 = 7 \mbox{ м} > 4 \mbox{ м}$, следовательно, сосуд с поршнем будут находиться под водой в "несхлопнутом состоянии".

Задача 7.

  1. Пусть после того, как мы положили груз, левый поршень сместился на $x$ вниз, тогда по золотому правилу механики правый сместится на $x/5$ вниз.
  2. Изменение давления, связанного с грузом, равно $mg/S_1$.
  3. С другой стороны, это давление складывается из изменения давления водяного столба высотой $x - x/5 = 4/5 x$ (оно действует на правый поршень) и силой Гука (она также действует на правый поршень). Запишем это: $p = 0{,}8 \rho g x + kx/5S_2$.
  4. Для того, чтобы вода не выливалась, нужно, чтобы в крайнем случае $x/5 = 0{,}2$ м, т.е. $x$ = 1 м.
  5. Приравняем выражения (2) и (3): $mg/S_1 = 0{,}8 \rho g x + kx/5S_2$. Отсюда находим $m$ = 12 кг.