Решения 9 класса (район 2005)

Решения задач районного тура 2005 года для 9 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Решение 1.

Обозначим искомую скорость v, расстояние от точки встречи пассажиров до основания эскалаторов L, времена движения пассажиров t1 и t2. Начальные скорости пассажиров равны v и направлены в противоположные стороны. Запишем уравнения движения:

L = vt1 + at12/2
L = -vt2 + at22/2

Приравняем правые части:

vt1 + at12/2 = -vt2 + at22/2
v(t1+t2) = a(t22-t12)/2
v = a(t22-t12)/2(t1+t2) = a(t2-t1)/2 = aDt/2

Ответ: скорость эскалаторов равна aDt/2.

Решение 2.

Обозначим искомую скорость v. Тогда пассажир на поднимающемся эскалаторе имеет начальную скорость v, направленную вверх по эскалатору. Через некоторое время он вернется в точку, в которой пассажиры поравнялись, имея при этом скорость v, направленную вниз по эскалатору, то есть окажется в такой же ситуации, как другой пассажир. Поэтому время, которое он затратит на спуск, начиная с этого момента, будет таким же, как у другого пассажира. Таким образом, Dt - это время, через которое пассажир вернется в точку встречи. Поскольку проекция его скорости на эскалатор за это время изменится на 2v, aDt = 2v и искомая скорость равна aDt/2.

 

Задача 2.

Добавочное давление, создаваемое столбом воды высоты h, равно r0gh, поэтому давление на глубине h равно pa+r0gh. Сила, с которой вода прижимает присоску к поверхности, равна F = (pa+r0gh)S (S - площадь присоски). Чтобы брусок держался, необходимо, чтобы эта сила была не меньше, чем равнодействующая сил Архимеда и тяжести, действующих на брусок. Объем бруска V = m/r, поэтому сила Архимеда равна Fa = r0gV = (r0/r)mg. Итак:

FFa - mg
(pa+r0gh)S ≥ (r0/r)mg - mg
S ≥ (r0-r)mg/r(pa+r0gh)

Ответ: минимальная площадь присоски равна .

Задача 3.

Представим шар как последовательное соединение трех резисторов: верхнего полушария (медного), полоски (алюминиевой) и нижнего полушария (тоже медного). Сопротивление шара R = U/I = 1.95·10-5 Ом есть сумма сопротивлений всех трех частей: R = Rв + Rп + Rн.

Рассчитаем сопротивление полоски. Ее сечение - кольцо радиусом r = 10 см и толщиной d = 1 мм. Его площадь равна S = 2prd = 628 мм2. Поэтому сопротивление полоски Rп = rAla/S = 9.55·10-8 Ом. У железной полоски таких же размеров сопротивление R'п = rFea/S = 3.18·10-7 Ом.

При замене алюминиевой полоски на железную сопротивление шара увеличится на величину R'п - Rп и станет равно R' = R + R'п - Rп = 1.98·10-5 Ом. Через шар пойдет ток I' = U/R' = = 5.06 A.

Ответ: ток через шар станет равен 5.06 А.

Задача 4.

Поскольку все грузы находятся в равновесии, сила натяжения каждой нити равна силе тяжести соответствующего груза. Поскольку узелок, которым связаны нити, также находится в равновесии, приложенные к нему силы натяжения скомпенсированы:

Спроецируем это равенство на оси x и y:

-T1sin45° + T2sin30° = 0
T1cos45° + T2cos30° - T3 = 0

Так как T1 = m1g, T2 = m2g и T3 = m3g (m1, m2 и m3 - массы левого, правого и среднего грузов соответственно), эти уравнения можно переписать в виде

-m1sin45° + m2sin30° = 0
m1cos45° + m2cos30° - m3 = 0

и из них найти

m2 = m1sin45°/sin30°
m3 = m1(cos45° + sin45°/tg30°)

или

= 1.41 кг
= 1.93 кг

Ответ: масса среднего груза 1.93 кг, масса правого груза 1.41 кг.

Задача 5.

Обозначим напряжение батареи U, а сопротивление резисторов R. Мощность, выделяющаяся при подключении к батарее одного резистора, равна U2/R. Если температура резистора установилась, то вся эта мощность рассеивается в окружающее пространство. По условию мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды - обозначим коэффициент пропорциональности a. Тогда

U2/R = a(t1 - t0)

При последовательном подключении двух резисторов сопротивление цепи будет равно 2R, поэтому выделяющаяся мощность U2/2R. Поскольку резисторы совмещены торцами, теплоотдача может происходить только с двух свободных торцов. Таким образом, условия теплоотдачи не изменятся, и ее мощность будет равна a(t2 - t0) (t2 - температура в этом случае):

U2/2R = a(t2 - t0)

Отсюда a(t1 - t0) = 2a(t2 - t0) и t2 = (t0 + t1)/2 = 29°C.

Ответ: резисторы нагреются до 29°C.

II вариант

Задача 1.

Решение 1.

Обозначим расстояние от точки встречи пассажиров до основания эскалаторов L, ускорения пассажиров a1 и a2. Начальные скорости пассажиров равны v и направлены в противоположные стороны. Запишем уравнения движения:

L = vt + a1t2/2
L = -vt + a2t2/2

Приравняем правые части:

vt + a1t2/2 = -vt + a2t2/2
2vt = (a2-a1)t2/2
a2-a1 = 4v/t

Ответ: разность ускорений пассажиров равна 4v/t.

Решение 2.

В системе отсчета одного из пассажиров другой имеет начальную скорость 2v и ускорение a2-a1, направленные в противоположные стороны (a1 и a2 - ускорения пассажиров). При этом пассажиры находятся в одной точке. Через время t они вновь оказываются в одной точке. В системе отсчета одного из пассажиров другой половину этого времени удаляется, а половину - возвращается. Следовательно, (a2-a1)t/2 = 2v, и искомая разность ускорений равна 4v/t.

Задача 2.

Добавочное давление, создаваемое столбом воды высоты h, равно r0gh, поэтому давление на глубине h равно pa+r0gh. Сила, с которой вода прижимает присоску к поверхности, равна F = (pa+r0gh)S (S - площадь присоски). Чтобы груз держался, необходимо, чтобы эта сила была не меньше, чем равнодействующая сил тяжести и Архимеда, действующих на груз. Обозначим массу груза m. Тогда его объем V = m/r, поэтому сила Архимеда равна Fa = r0gV = (r0/r)mg. Итак:

Fmg - Fa
(pa+r0gh)Smg - (r0/r)mg
(pa+r0gh)S ≥ (r-r0)mg/r
m ≤ (pa+r0gh)rS/(r-r0)g

Ответ: максимальная масса груза равна .

Задача 3.

Представим шар как последовательное соединение трех резисторов: верхнего полушария (алюминиевого), полоски (стальной) и нижнего полушария (тоже алюминиевого). Сопротивление шара R = U/I = 2.59·10-5 Ом есть сумма сопротивлений всех трех частей: R = Rв + Rп + Rн.

Рассчитаем сопротивление полоски. Ее сечение - кольцо радиусом r = 10 см и толщиной d = 1 мм. Его площадь равна S = 2prd = 1260 мм2. Поэтому сопротивление полоски Rп = rсa/S = 3.58·10-7 Ом. У медной полоски таких же размеров сопротивление R'п = rмa/S = 4.77·10-8 Ом.

При замене стальной полоски на железную сопротивление шара уменьшится на величину Rп - R'п и станет равно R' = R - Rп + R'п = 2.56·10-5 Ом. Через шар пойдет ток I' = U/R' = = 3.91 A.

Ответ: ток через шар станет равен 3.91 А.

Задача 4.

Поскольку все грузы находятся в равновесии, сила натяжения каждой нити равна силе тяжести соответствующего груза. Поскольку узелок, которым связаны нити, также находится в равновесии, приложенные к нему силы натяжения скомпенсированы:

Спроецируем это равенство на оси x и y:

-T1sin45° + T2sin60° = 0
T1cos45° + T2cos60° - T3 = 0

Так как T1 = m1g, T2 = m2g и T3 = m3g (m1, m2 и m3 - массы левого, правого и среднего грузов соответственно), эти уравнения можно переписать в виде

-m1sin45° + m2sin60° = 0
m1cos45° + m2cos60° - m3 = 0

и из них найти

m2 = m1sin45°/sin60°
m3 = m1(cos45° + sin45°/tg60°)

или

= 0.82 кг
= 1.11 кг

Ответ: масса среднего груза 1.11 кг, масса правого груза 0.82 кг.

Задача 5.

Обозначим напряжение батареи U, а сопротивление резисторов R. Мощность, выделяющаяся при подключении к батарее одного резистора, равна U2/R. Если температура резистора установилась, то вся эта мощность рассеивается в окружающее пространство. По условию мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды - обозначим коэффициент пропорциональности a. Тогда

U2/R = a(t1 - t0)

При последовательном подключении трех резисторов сопротивление цепи будет равно 3R, поэтому выделяющаяся мощность U2/3R. Поскольку резисторы совмещены торцами, теплоотдача может происходить только с двух свободных торцов. Таким образом, условия теплоотдачи не изменятся, и ее мощность будет равна a(t2 - t0) (t2 - температура в этом случае):

U2/3R = a(t2 - t0)

Отсюда a(t1 - t0) = 3a(t2 - t0) и t2 = (2t0 + t1)/3 = 26°C.

Ответ: резисторы нагреются до 26°C.