Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 9 класса (район 2005)

Подробности

Обновлено 30.03.2013 11:24

Решения задач районного тура 2005 года для 9 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Решение 1.

Обозначим искомую скорость v, расстояние от точки встречи пассажиров до основания эскалаторов L, времена движения пассажиров t₁ и t₂. Начальные скорости пассажиров равны v и направлены в противоположные стороны. Запишем уравнения движения:

L = vt₁ + at₁²/2
L = -vt₂ + at₂²/2

Приравняем правые части:

vt₁ + at₁²/2 = -vt₂ + at₂²/2
v(t₁+t₂) = a(t₂²-t₁²)/2
v = a(t₂²-t₁²)/2(t₁+t₂) = a(t₂-t₁)/2 = aDt/2

Ответ: скорость эскалаторов равна aDt/2.

Решение 2.

Обозначим искомую скорость v. Тогда пассажир на поднимающемся эскалаторе имеет начальную скорость v, направленную вверх по эскалатору. Через некоторое время он вернется в точку, в которой пассажиры поравнялись, имея при этом скорость v, направленную вниз по эскалатору, то есть окажется в такой же ситуации, как другой пассажир. Поэтому время, которое он затратит на спуск, начиная с этого момента, будет таким же, как у другого пассажира. Таким образом, Dt - это время, через которое пассажир вернется в точку встречи. Поскольку проекция его скорости на эскалатор за это время изменится на 2v, aDt = 2v и искомая скорость равна aDt/2.

Задача 2.

Добавочное давление, создаваемое столбом воды высоты h, равно r₀gh, поэтому давление на глубине h равно p_a+r₀gh. Сила, с которой вода прижимает присоску к поверхности, равна F = (p_a+r₀gh)S (S - площадь присоски). Чтобы брусок держался, необходимо, чтобы эта сила была не меньше, чем равнодействующая сил Архимеда и тяжести, действующих на брусок. Объем бруска V = m/r, поэтому сила Архимеда равна F_a = r₀gV = (r₀/r)mg. Итак:

F ≥ F_a - mg
(p_a+r₀gh)S ≥ (r₀/r)mg - mg
S ≥ (r₀-r)mg/r(p_a+r₀gh)

Ответ: минимальная площадь присоски равна .

Задача 3.

Представим шар как последовательное соединение трех резисторов: верхнего полушария (медного), полоски (алюминиевой) и нижнего полушария (тоже медного). Сопротивление шара R = U/I = 1.95·10^-5 Ом есть сумма сопротивлений всех трех частей: R = R_в + R_п + R_н.

Рассчитаем сопротивление полоски. Ее сечение - кольцо радиусом r = 10 см и толщиной d = 1 мм. Его площадь равна S = 2prd = 628 мм². Поэтому сопротивление полоски R_п = r_Ala/S = 9.55·10^-8 Ом. У железной полоски таких же размеров сопротивление R'_п = r_Fea/S = 3.18·10^-7 Ом.

При замене алюминиевой полоски на железную сопротивление шара увеличится на величину R'_п - R_п и станет равно R' = R + R'_п - R_п = 1.98·10^-5 Ом. Через шар пойдет ток I' = U/R' = = 5.06 A.

Ответ: ток через шар станет равен 5.06 А.

Задача 4.

Поскольку все грузы находятся в равновесии, сила натяжения каждой нити равна силе тяжести соответствующего груза. Поскольку узелок, которым связаны нити, также находится в равновесии, приложенные к нему силы натяжения скомпенсированы:

Спроецируем это равенство на оси x и y:

-T₁sin45° + T₂sin30° = 0
T₁cos45° + T₂cos30° - T₃ = 0

Так как T₁ = m₁g, T₂ = m₂g и T₃ = m₃g (m₁, m₂ и m₃ - массы левого, правого и среднего грузов соответственно), эти уравнения можно переписать в виде

-m₁sin45° + m₂sin30° = 0
m₁cos45° + m₂cos30° - m₃ = 0

и из них найти

m₂ = m₁sin45°/sin30°
m₃ = m₁(cos45° + sin45°/tg30°)

или

= 1.41 кг
= 1.93 кг

Ответ: масса среднего груза 1.93 кг, масса правого груза 1.41 кг.

Задача 5.

Обозначим напряжение батареи U, а сопротивление резисторов R. Мощность, выделяющаяся при подключении к батарее одного резистора, равна U²/R. Если температура резистора установилась, то вся эта мощность рассеивается в окружающее пространство. По условию мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды - обозначим коэффициент пропорциональности a. Тогда

U²/R = a(t₁ - t₀)

При последовательном подключении двух резисторов сопротивление цепи будет равно 2R, поэтому выделяющаяся мощность U²/2R. Поскольку резисторы совмещены торцами, теплоотдача может происходить только с двух свободных торцов. Таким образом, условия теплоотдачи не изменятся, и ее мощность будет равна a(t₂ - t₀) (t₂ - температура в этом случае):

U²/2R = a(t₂ - t₀)

Отсюда a(t₁ - t₀) = 2a(t₂ - t₀) и t₂ = (t₀ + t₁)/2 = 29°C.

Ответ: резисторы нагреются до 29°C.

II вариант

Задача 1.

Решение 1.

Обозначим расстояние от точки встречи пассажиров до основания эскалаторов L, ускорения пассажиров a₁ и a₂. Начальные скорости пассажиров равны v и направлены в противоположные стороны. Запишем уравнения движения:

L = vt + a₁t²/2
L = -vt + a₂t²/2

Приравняем правые части:

vt + a₁t²/2 = -vt + a₂t²/2
2vt = (a₂-a₁)t²/2
a₂-a₁ = 4v/t

Ответ: разность ускорений пассажиров равна 4v/t.

Решение 2.

В системе отсчета одного из пассажиров другой имеет начальную скорость 2v и ускорение a₂-a₁, направленные в противоположные стороны (a₁ и a₂ - ускорения пассажиров). При этом пассажиры находятся в одной точке. Через время t они вновь оказываются в одной точке. В системе отсчета одного из пассажиров другой половину этого времени удаляется, а половину - возвращается. Следовательно, (a₂-a₁)t/2 = 2v, и искомая разность ускорений равна 4v/t.

Задача 2.

Добавочное давление, создаваемое столбом воды высоты h, равно r₀gh, поэтому давление на глубине h равно p_a+r₀gh. Сила, с которой вода прижимает присоску к поверхности, равна F = (p_a+r₀gh)S (S - площадь присоски). Чтобы груз держался, необходимо, чтобы эта сила была не меньше, чем равнодействующая сил тяжести и Архимеда, действующих на груз. Обозначим массу груза m. Тогда его объем V = m/r, поэтому сила Архимеда равна F_a = r₀gV = (r₀/r)mg. Итак:

F ≥ mg - F_a
(p_a+r₀gh)S ≥ mg - (r₀/r)mg
(p_a+r₀gh)S ≥ (r-r₀)mg/r
m ≤ (p_a+r₀gh)rS/(r-r₀)g

Ответ: максимальная масса груза равна .

Задача 3.

Представим шар как последовательное соединение трех резисторов: верхнего полушария (алюминиевого), полоски (стальной) и нижнего полушария (тоже алюминиевого). Сопротивление шара R = U/I = 2.59·10^-5 Ом есть сумма сопротивлений всех трех частей: R = R_в + R_п + R_н.

Рассчитаем сопротивление полоски. Ее сечение - кольцо радиусом r = 10 см и толщиной d = 1 мм. Его площадь равна S = 2prd = 1260 мм². Поэтому сопротивление полоски R_п = r_сa/S = 3.58·10^-7 Ом. У медной полоски таких же размеров сопротивление R'_п = r_мa/S = 4.77·10^-8 Ом.

При замене стальной полоски на железную сопротивление шара уменьшится на величину R_п - R'_п и станет равно R' = R - R_п + R'_п = 2.56·10^-5 Ом. Через шар пойдет ток I' = U/R' = = 3.91 A.

Ответ: ток через шар станет равен 3.91 А.

Задача 4.

Поскольку все грузы находятся в равновесии, сила натяжения каждой нити равна силе тяжести соответствующего груза. Поскольку узелок, которым связаны нити, также находится в равновесии, приложенные к нему силы натяжения скомпенсированы:

Спроецируем это равенство на оси x и y:

-T₁sin45° + T₂sin60° = 0
T₁cos45° + T₂cos60° - T₃ = 0

Так как T₁ = m₁g, T₂ = m₂g и T₃ = m₃g (m₁, m₂ и m₃ - массы левого, правого и среднего грузов соответственно), эти уравнения можно переписать в виде

-m₁sin45° + m₂sin60° = 0
m₁cos45° + m₂cos60° - m₃ = 0

и из них найти

m₂ = m₁sin45°/sin60°
m₃ = m₁(cos45° + sin45°/tg60°)

или

= 0.82 кг
= 1.11 кг

Ответ: масса среднего груза 1.11 кг, масса правого груза 0.82 кг.

Задача 5.

Обозначим напряжение батареи U, а сопротивление резисторов R. Мощность, выделяющаяся при подключении к батарее одного резистора, равна U²/R. Если температура резистора установилась, то вся эта мощность рассеивается в окружающее пространство. По условию мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды - обозначим коэффициент пропорциональности a. Тогда

U²/R = a(t₁ - t₀)

При последовательном подключении трех резисторов сопротивление цепи будет равно 3R, поэтому выделяющаяся мощность U²/3R. Поскольку резисторы совмещены торцами, теплоотдача может происходить только с двух свободных торцов. Таким образом, условия теплоотдачи не изменятся, и ее мощность будет равна a(t₂ - t₀) (t₂ - температура в этом случае):

U²/3R = a(t₂ - t₀)

Отсюда a(t₁ - t₀) = 3a(t₂ - t₀) и t₂ = (2t₀ + t₁)/3 = 26°C.

Ответ: резисторы нагреются до 26°C.