Решения 8 класса (район 2005)
- Подробности
- Обновлено 30.03.2013 11:24
Решения задач районного тура 2005 года для 8 класса.
1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
I вариант
Задача 1.
Рассмотрим, сколько времени требуется каждому из них, чтобы пройти 6 м и попить кофе. Скорость Болванщика 1.5 м/c, поэтому у Болванщика это занимает 
. Аналогично, Заяц делает это за время 
. То есть ровно в 2 раза быстрее. Поэтому, когда Болванщик проходит очередные 6 м и выпивает кофе, Заяц проходит 12 м и два раза пьет кофе. Вместе они проходят 18 м. Периметр стола равен 2·100 м + 2·8 м = 216 м. 216 м / 18 м = 12. Поэтому, когда они встретятся, Болванщик будет 12-й раз пить кофе. К этому моменту он пройдет 12·6 м = 72 м, и будет находиться на расстоянии 100 м - 72 м = 28 м от Алисы.
Ответ: 28 м.
Задача 2.
Пусть, когда на поршне лежал груз, разность уровней воды равнялась Н. Тогда mg = rgHS1. Пусть поршень поднялся на высоту h1, а уровень воды в правом сосуде опустился на h2. Куб опустится также на высоту h1. Суммарный объем жидкости не изменился, поэтому h1S1 = h2S2 + (h1-h2)S, где S = a2 = 0.01 м2 - площадь основания куба. Отсюда 
. Объем погруженной части куба равен 
. На поршень действуют силы давления сверху и снизу и сила со стороны веревки, которая равна силе Архимеда, действующей на куб (т.к. он безмассовый). Давление на поршень снизу больше атмосферного давления на DP = rg(H-h1-h2). Условие равенства сил, действующих на поршень вверх и вниз:
Видно, что получилось h1 < a = 10 см, а значит верно наше предположение о том, что куб погрузился не полностью.
Ответ: 6 см.
Задача 3.
Все время пока вода течет по трубе мощность нагревателя идет на ее нагрев. Поэтому в первом случае: CrV(t1-tр) = Pt, где V - объем бассейна, r = 1000 кг/м3 - плотность воды, С - теплоемкость воды. Отсюда
Пусть во втором случае изначально был заполнен объем V1, тогда: Cr(V-V1)(t2-tр) + CrV1(t2-t0) = Pt, где t2 = 25°C, t0 = 15°C. Отсюда
Ответ: 10 м3.
Задача 4.
Пусть пружина растянулась на Dx. На эту же величину левый поршень поднимется относительно правого. Пусть давление воды под левым поршнем равно P, атмосферное давление P0. На левый поршень действуют следующие силы: сила атмосферного давления сверху P0S1, сила давления воды снизу PS1 и сила со стороны кронштейна, равная силе с которой пружина действует на кронштейн, т.е. она равна kDx и направлена вниз. В итоге получаем:
P0S1 + kDx = PS1 (1).
Давление воды под правым поршнем равно P + rgDx. На правый поршень помимо сил давления действуют сила со стороны груза mg, и сила kDx со стороны пружины:
(P + rgDx)S2 + kDx = P0S2 + mg (2).
Из (1): P - P0 = kDx/S1. Подставляем это в (2) и используем то, что S1 = S, S2 = 2S:
Ответ: 
Задача 5.
Время, за которое сварится картошка, зависит от скорости поступления в нее теплоты. А это в свою очередь зависит только от температуры воды, в которой она находится. Если мы отольем часть воды, это не изменит ее температуру, она останется равной температуре кипения при данных условиях. Если же мы закроем кастрюлю крышкой, это приведет к увеличению давления в кастрюле из-за интенсивного образования водяного пара. Что в свою очередь приведет к увеличению температуре кипения (т.к. давление насыщенных паров растет с температурой). Следовательно, температура кипящей воды повысится. Поэтому выгоднее закрыть кастрюлю крышкой.
Задача 6.
Пусть V - объем доски, m - ее масса, L - ее длина, S = 2 м · 0.1 м - площадь верхней поверхности, r - плотность воды. Рассмотрим силы, которые действуют на доску. Это сила тяжести mg = 400 Н, приложенная к центру доски, сила Архимеда 
, действующая на левую половину доски и приложенная на расстоянии L/4 от левого края, а также сила давления воды сверху на правую половину. Эта сила равна
(h = 10 м - глубина, P0 - атмосферное давление) и можно считать что она приложена к середине правой половины доски. В момент отрыва вод действием силы F1 сила реакции со стороны уступа приложена к правому концу доски, а под действием силы F2 - к центру доски. Поэтому при написании правила рычага относительно этих точек она вклада не даст.
Из правила рычага имеем:
(точка опоры - правый конец доски)
(точка опоры - середина доски)
Ответ: F1/F2 ≈ 1.002
II вариант
Задача 1.
Рассмотрим, сколько времени требуется каждому из них, чтобы пройти 7 м и попить кофе. Скорость Болванщика 1 м/c, поэтому у Болванщика это занимает 
. Аналогично, Заяц делает это за время 
. То есть ровно в 2 раза быстрее. Поэтому, когда Болванщик проходит очередные 7 м и выпивает кофе, Заяц проходит 14 м и два раза пьет кофе. Вместе они проходят 21 м. Периметр стола равен 2·100 м + 2·5 м = 210 м. 210 м / 21 м = 10. Поэтому, когда они встретятся, Болванщик будет 10-й раз пить кофе. К этому моменту он пройдет 10·7 м = 70 м, и будет находиться на расстоянии 100 м - 70 м = 30 м от Алисы.
Ответ: 30 м.
Задача 2.
Пусть поршень поднялся на высоту h1, а уровень воды в правом сосуде опустился на h2. Куб опустится также на высоту h1. Суммарный объем жидкости не изменился, поэтому h1S1 = h2S2 + (h1-h2)S, где S = a2 = 0.01 м2 - площадь основания куба. Отсюда 
. Объем погруженной части куба равен 
. На поршень помимо силы F действуют силы давления сверху и снизу и сила со стороны веревки, которая равна силе Архимеда, действующей на куб (т.к. он безмассовый). Давление на поршень снизу меньше атмосферного давления на DP = rg(h1+h2). Условие равенства сил, действующих на поршень вверх и вниз:
Видно, что получилось h1 < a = 10 см, а значит верно наше предположение о том, что куб погрузился не полностью.
Ответ: 6 см.
Задача 3.
Все время пока вода течет по трубе мощность нагревателя идет на ее нагрев. Поэтому в первом случае: CrV(t1-tр) = Pt, где t1 - температура воды после заполнения. Отсюда
Пусть во втором случае изначально был заполнен объем V1 = 2 м3, а температура воды в конце равна t2, тогда: Cr(V-V1)(t2-tр) + CrV1(t2-t0) = Pt. Отсюда
Ответ: На 2°C.
Задача 4.
Пусть пружина сжалась на Dx. На эту же величину левый поршень опустится относительно правого. Пусть давление воды под правым поршнем равно P, атмосферное давление P0. На правый поршень действуют следующие силы: сила атмосферного давления сверху P0S2, сила давления воды снизу PS2 и сила со стороны пружины, которая равна kDx и направлена вниз. В итоге получаем:
P0S2 + kDx = PS2 (1).
Давление воды под правым поршнем равно P + rgDx. На левый поршень помимо сил давления действуют сила со стороны груза mg, и сила со стороны кронштейна, равная силе с которой пружина действует на кронштейн, т.е. она равна kDx и направлена вверх:
(P + rgDx)S1 + kDx = P0S1 + mg (2).
Из (1): P - P0 = kDx/S2. Подставляем это в (2) и используем то, что S1 = S, S2 = 3S:
Ответ: 
Задача 5.
Время, за которое сварится картошка, зависит от скорости поступления в нее теплоты. А это в свою очередь зависит только от температуры воды, в которой она находится. Если мы увеличим огонь, это лишь усилит интенсивность кипения воды, но не изменит ее температуру, она останется равной температуре кипения при данных условиях. Если же мы закроем кастрюлю крышкой, это приведет к увеличению давления в кастрюле из-за интенсивного образования водяного пара. Что в свою очередь приведет к увеличению температуре кипения (т.к. давление насыщенных паров растет с температурой). Следовательно, температура кипящей воды повысится. Поэтому выгоднее закрыть кастрюлю крышкой.
Задача 6.
Пусть V - объем доски, m - ее масса, L - ее длина, S = 2 м · 0.1 м - площадь верхней поверхности, r - плотность воды. Рассмотрим силы, которые действуют на доску. Это сила тяжести mg = 400 Н, приложенная к центру доски, сила Архимеда
, действующая на левую половину доски и приложенная на расстоянии L/4 от левого края, а также сила давления воды сверху на правую половину. Эта сила равна
(h = 10 м - глубина, P0 - атмосферное давление) и можно считать что она приложена к середине правой половины доски. В момент отрыва вод действием силы F1 сила реакции со стороны уступа приложена к правому концу доски, а под действием силы F2 - к центру доски. Поэтому при написании правила рычага относительно этих точек она вклада не даст.
Из правила рычага имеем:
(точка опоры - правый конец доски)
(точка опоры - середина доски)
Ответ: F1/F2 ≈ 0.501