Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 7 класса (район 2005)

Подробности

Обновлено 30.03.2013 11:23

Решения задач районного тура 2005 года для 7 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

I вариант

Задача 1.

Подсчитаем периметр стола. Он равен 2·100 м + 2·8 м = 216 м. Так как Заяц и Болванщик движутся навстречу друг другу, то время, через которое они встретятся, равно . Таким образом, Болванщик за это время пройдет расстояние s = vt = 1,5 м/с · 28,8 с = 43,2 м. Учтем, что изначально Болванщик находился на расстоянии 48 м от Алисы, следовательно, он встретится с Зайцем на расстоянии 48 м - 43,2 м = 4,8 м от Алисы.

Задача 2.

Снаружи автомобиля находится воздух. В процессе движения термометр испытывает сопротивление со стороны воздуха. Следовательно, за счет этой силы термометр нагреется, и его показания возрастут.

Задача 3.

Рассмотрим случай, когда Василий бежит вверх по попутному эскалатору. Его скорость относительно Земли складывается из собственной скорости бега (10 км/ч) и скорости эскалатора v. Обозначим за t то время, за которое он пробегает эскалатор, тогда: , где L - длина эскалатора. В случае, когда Василий бежит по противоположному эскалатору, его скорость равна разности скорости бега и скорости эскалатора. Тогда . Наконец, когда эскалатор стоит, скорость Василия равна просто 10 км/ч. В этом случае . Выразим из первого уравнения L: L = (10 км/ч + v)t. Подставляя в третье уравнение, получим: vt = 0,5 км. Из второго уравнения получаем: 0,2 ч·v = 1 км, откуда v = 5 км/ч.

Задача 4.

Выясним сначала, в каком положении будет плавать палка. Рассмотрим ситуацию, показанную на рисунке. В этом случае на верхнюю половину палки будет действовать меньшая сила Архимеда, так как плотность воды, в которой плавает верхняя половина палки, меньше. Соответственно, в таком положении палка плавать не может. Очевидно, что палка может плавать только горизонтально, т.е. все ее точки должны лежать на одной глубине. Найдем эту глубину. Для того, чтобы палка плавала, необходимо, чтобы сумма сил, действующих на нее, была равна нулю. В нашем случае сил две: сила тяжести r_палкиgV и сила Архимеда r_{жидкости}gV, где за V обозначен объем палки. Эти силы действуют в разные стороны, поэтому условие плавания запишется в виде: (r_палки-r_{жидкости})gV = 0. Таким образом, получим: r_{жидкости} = r_палки. Т.е. палка будет плавать на такой глубине, где r = 1020 кг/м³. По графику находим, что эта глубина - 20 метров.

Задача 5.

При открытии банки фрукты начинают сжиматься, так как внутри них содержится некоторое количество воздуха. Следовательно, объем фруктов уменьшается. На фрукты действует сила Архимеда и сила тяжести. Масса фруктов не меняется, значит, сила тяжести остается постоянной. Сила Архимеда уменьшается с уменьшением объема, поэтому фрукты тонут.

Задача 6.

Сначала найдем, какую часть цилиндра занимает вода. Это проще всего сделать из правила рычага. Сила тяжести воды приложена к точке А (см. рис.), сила тяжести поршня - к точке B. Центр отрезка OC находится в точке P.

Тогда, по правилу рычага, AP · mg = PB · mg, т.е. AP = PB, где m - масса воды (и, соответственно, поршня).

Но ОА = ОВ · ½, а также и .

Следовательно, правило рычага можно переписать в виде: Таким образом, OB = 2/3 · OC = 2/3 · 6,6 см = 4,4 см. Значит, пружина имеет длину l = 6,6 см - 4,4 см = 2,2 см. По закону Гука сила упругости пружины составляет F = k(l - l₀) = 6 Н/м · (2,2 см - 3 см) = -0,048 Н, где l₀ = 3 см - изначальная длина пружины. Знак "-" у F означает, что пружина сжата, а не растянута. В дальнейшем будем писать |F|.

Давление со стороны поршня на воду составляет p = |F|/S = 0,048 Н / 3,14 см² = 153 Па. Давление со стороны жидкости на поршень производится со стороны столба воды искомой высоты h. Сосчитать его можно так. Давление водяного столба на уровне верхней точки поршня равно p₁ = rgh, на уровне нижней точки p₂ = rg(h + 2r), где r - плотность воды, r - радиус цилиндра. Так как давление возрастает линейно с высотой (p = rgx), то давление, оказываемое водой на поршень, равно p = (p₁ + p₂)/2, т.е. среднему давлений в верхней и нижней точках. Условие равновесия запишется тогда в виде: . Решая это уравнение, находим: h = 0,53 см.

II вариант

Задача 1.

Предположим, что Заяц и Болванщик встретились на том же отрезке, на котором были вначале. Обозначим расстояние до Алисы как x. Тогда до встречи прошло время Преобразовывая это уравнение, получим: 96 м - 3x = 80 м + x. Отсюда x = 4 м.

Задача 2.

Снаружи автомобиля находится воздух. В процессе движения термометр испытывает сопротивление со стороны воздуха. Следовательно, за счет этой силы термометр нагреется, и его показания возрастут.

Задача 3.

Если Василий бежит по эскалатору, который поднимается вверх, время, которое он затратит на подъем, равно: , где L - длина эскалатора. В случае, если Василий ошибается эскалатором, время равно: Наконец, в случае, когда эскалатор стоит, Василий тратит время , где х - искомое время опоздания. Выражая L через t из первого уравнения и подставляя во второе, получим: t = 0,015 ч. Подставляя L = 15 км/ч·t и t = 0,015 ч в третье уравнение, получим: x = 0,45 мин.

Задача 4.

Выясним сначала, в каком положении будет плавать палка. Рассмотрим ситуацию, показанную на рисунке. В этом случае на верхнюю половину палки будет действовать меньшая сила Архимеда, так как плотность воды, в которой плавает верхняя половина палки, меньше. Соответственно, в таком положении палка плавать не может. Очевидно, что палка может плавать только горизонтально, т.е. все ее точки должны лежать на одной глубине. Найдем эту глубину. Для того, чтобы палка плавала, необходимо, чтобы сумма сил, действующих на нее, была равна нулю. В нашем случае сил две: сила тяжести r_палкиgV и сила Архимеда r_{жидкости}gV, где за V обозначен объем палки. Эти силы действуют в разные стороны, поэтому условие плавания запишется в виде: (r_палки-r_{жидкости})gV = 0. Таким образом, получим: r_{жидкости} = r_палки. Т.е. палка будет плавать на такой глубине, где r = 1070 кг/м³. По графику находим, что эта глубина - 140 метров.

Задача 5.

При открытии банки фрукты начинают сжиматься, так как внутри них содержится некоторое количество воздуха. Следовательно, объем фруктов уменьшается. На фрукты действует сила Архимеда и сила тяжести. Масса фруктов не меняется, значит, сила тяжести остается постоянной. Сила Архимеда уменьшается с уменьшением объема, поэтому фрукты тонут.

Задача 6.

Сначала найдем, какую часть цилиндра занимает вода. Это проще всего сделать из правила рычага. Сила тяжести воды приложена к точке А (см. рис.), сила тяжести поршня - к точке B. Центр отрезка OC находится в точке P.

По правилу рычага AP · 2mg = PB · mg, где m - масса поршня.

Но ОА = ОВ · ½, а также и .

Следовательно, правило рычага можно переписать в виде: OC - OB = OB - ½OC → OB = ¾OC = ¾l, где l = OC - искомая длина цилиндра. Значит, пружина имеет длину l - 3/4 l = 1/4 l. По закону Гука сила жесткости пружины составляет F = k (1/4 l - x₀) = 20 Н/м (1/4 l - 10 см), где x₀ - изначальная длина пружины. Так как пружина сжата, то F будет отрицательной, в дальнейшем будем писать |F|.

Давление со стороны поршня на воду p = |F|/S. Давление со стороны жидкости на поршень равно

Условие равновесия записывается в виде , откуда l = 58,3 cм.