Решения 8 класса (город 2004)

Подробности
Обновлено 31.03.2013 11:59

Решения задач городского тура 2004 года для 8 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

Так как все тела неподвижны, то их веса равны силам натяжения нитей, на которых они висят.

Трение в системе отсутствует, поэтому сила натяжения нити постоянна вдоль ее длины. Следовательно, правый крайний груз также имеет массу m.

Теперь определим массы остальных грузов. Каждый из них висит на нити, привязанной к оси блока. Каждый такой блок находится в равновесии под действием трех сил натяжения. Две из них направлены вверх и равны mg, значит, третья равна 2mg.

Следовательно, каждый из этих грузов имеет массу 2m.

Ответ: 10 кг, 20 кг.

Задача 2.

Теплота, подводимая за единицу времени непосредственно на нагрев воды, определяется разностью мощностей плитки и теплопотерь. Поэтому теплота, пошедшая на нагрев за время T секунд (здесь T - безразмерно), будет равна площади трапеции, заключенной между прямыми t = 0 c, t = T с, P = 500 Вт и графиком зависимости мощности теплопотерь от времени, который также является прямой.

Если T - искомое время, то эта площадь равна

Находим меньший корень квадратного уравнения:

T2 - 1600T + 336000 = 0
T ≈ 249

Ответ: ≈ 249 с

Задача 3.

Поток воды из каждого крана зависит только от уровня воды в данный момент. Поэтому, когда открыты оба крана, скорость вытекания воды из сосуда при некотором уровне воды просто будет складываться из скоростей вытекания воды через каждый кран в отдельности при том же уровне.

Скорость вытекания воды пропорциональна скорости уменьшения уровня воды. Как видно из графика, эта скорость на интервале от 20 до 15 см примерно постоянна для обоих кранов.

При открытом первом кране уровень уменьшается от 20 до 15 см за ≈8с, при открытом втором - за ≈4с. Скорости уменьшения уровня равны соответственно 5см/8c и 5см/4c.

Тогда скорость вытекания при двух открытых кранах равна , уровень уменьшается от 20 до 15 см за время .

Ответ: ≈ 2.7 с

Задача 4.

Обозначим: V2 - объем гири, l - расстояние от A до B, m = 10 кг - измеряемая масса груш, r0 - плотность воды.

Пусть при измерении в воздухе крючок нужно установить на расстоянии x от точки A, тогда по правилу рычага: .

Пусть теперь груши взвешиваются под водой. Суммарная внешняя сила, действующая на груши, равна и направлена вверх. Внешняя сила, действующая на гирю, равна r2V2g - r0V2g и остается направленной вниз. Поэтому крючок надо будет устанавливать с той же стороны от A, что и гиря (точка B). (При этом груши будут сверху стержня)

Пусть крючок надо установить на расстоянии x' слева от точки A. Применяя правило рычага, получаем:

Далее остается правильно нанести отметку на шкалу:

Задача 5.

Пусть скорость мальчика равна V, скорость собаки вверх - V1, вниз - V2.

Отношение пути Sc, который пробегает собака в течение одного своего пробега туда и обратно, к пути S, который за это время проходит мальчик, постоянно (зависит только от скоростей). (Это можно получить как из последующих вычислений, так и из графических соображений).

Путь, который пробегает собака за один такой пробег, уменьшается до нуля по мере подхода мальчика к вершине. Поэтому искомый полный путь собаки равен 100 м · Sc/S, т.к. полный путь мальчика 100 м.

Пусть в момент очередной встречи собаки с мальчиком их отделяет от вершины расстояние L, t - время до следующей встречи. Время, за которое собака добегает до вершины равно L/V1. Следовательно, собака возвращается от вершины до мальчика за время (t-L/V1).

Собака бежит до вершины расстояние L, затем возвращается на расстояние V2(t-L/V1). Мальчик при этом проходит расстояние Vt.

Ответ: 350 м

Задача 6.

r0 = 1000 кг/м3 - плотность воды, V - начальный объем пластилина, V' - требуемый объем пластилина в воде.

Трение отсутствует, натяжение нити постоянно вдоль её длины, грузы неподвижны, поэтому масса правого крайнего груза так же равна m. Так как плотности крайних грузов равны, то равны и их объемы.

Вес среднего груза равен двум силам натяжения нити, следовательно, его масса равна 2m.

Пусть теперь равновесие установлено в воде. Результирующая сил Архимеда и тяжести, действующих на каждый из крайних грузов, которая уравновешивается силой натяжения нити, равна и направлена вниз.

Аналогичная результирующая для куска пластилина равна (r2-r0)V'g

Сила натяжения нити, на которой висит пластилин, вдвое больше силы натяжения нити, на которой висят крайние грузы. Поэтому

DV = V' - V = V' - 2m/r2 ≈ (25.2-3.6) дм3 = +21.6 дм3.

Ответ: нужно прилепить ≈ 21.6 дм3 пластилина.

Задача 7.

Теплоотдача складывается из потока тепла через боковые стенки, дно и поверхность.

Отношение мощности теплоотдачи через дно и свободную поверхность воды к разности температур воздуха и окружающей среды во всех случаях одинаково. Обозначим его за A.

Мощность теплоотдачи через боковые стенки пропорциональна их площади, следовательно, их высоте, а значит и объему сосуда, а так же разности температур воздуха и окружающей среды. Коэффициент пропорциональности обозначим за B.

Суммарная мощность теплоотдачи равна P = (A+BV)(T-Tкомн). В установившемся режиме она равна мощности кипятильника, и, следовательно, одинакова во всех случаях. Поэтому:

60(A+B) = 40(A+2B) = X(A+4B), где X = T3-Tкомн.

Решение системы: A = B, X = 24 => T3 = 44

Ответ: 44°C