Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 8 класса (город 2003)

Подробности

Обновлено 31.03.2013 12:22

Решения задач городского тура 2003 года для 8 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

Обозначим диаметр бутылки D, диаметр сечения проволоки (которое считаем круглым) d.

Намотаем всю проволоку вокруг бутылки, число витков обозначим N. Подключим мотку источник тока, вольтметр и амперметр и измерим его сопротивление R. Тогда

R = r·pND/(pd²/4) - 1 балл.

В этом уравнении неизвестны только d и D.

Обернем бутылку листом бумаги и поставим на другой лист. Карандашом обведем окружность первого листа. Диаметр этой окружности равен D. - 1 балл. Существует масса альтернативных способов, например, можно отметить карандашом на бумаге длину одного витка проволоки pD.

Теперь намотаем проволоку на бутылку плотным мотком. Сделаем такое число витков K, чтобы ширина мотка равнялась D (это можно проверить, приложив бутылку к листу бумаги). Тогда

D = Kd - 1 балл.

Эти уравнения позволяют определить радиус бутылки.

Задача 2.

В первом случае, когда вода налита поверх поршня, разность давлений над поршнем и под поршнем равна rgh = 1000 Па. Во втором случае, когда поршень не закреплен, разность давлений под поршнем и над поршнем равна Mg/S = 2000 Па. Поскольку течение воды через отверстие вызывается разностью давлений, во втором случае поток воды будет вдвое больше - 10 мл за каждую секунду. Первоначально объем воды под поршнем равен Sh = 5000 мл, поэтому вся вода протечет сквозь отверстие за 500 с.

Разбалловка.

За вычисление разности давлений во втором случае (Mg/S = 2000 Па) - 1 балл.

За вычисление потока воды во втором случае (10 мл/с) - 1 балл.

За правильный ответ - 1 балл.

Задача 3.

На интервалах времени между переливаниями температура в сосуде будет линейно расти, после переливания она скачком упадет. Для установления "равновесия" нужно, чтобы два эти изменения температуры компенсировали друг друга. Количественный расчет можно выполнить следующим образом.

При переливании от воды в сосуде отнимается количество теплоты, равное cmDT, где с - теплоемкость воды, m - масса переливаемой воды, DT - разность между температурой воды в сосуде до переливания и комнатной. Между переливаниями нагреватель передает воде в сосуде количество тепла, равное Pt, где P - мощность кипятильника, t - промежуток времени между переливаниями. Приравнивая эти две величины, получаем DT = Pt/cm ≈ 11.9°. Температура воды в сосуде перед переливанием ≈ 31.9°. Между переливаниями температура в сосуде меняется на значение DT' = Pt/Mc = DT/100 ≈ 0.1°. Таким образом, на промежутке времени между переливаниями температура линейно растет от 31.8° до 31.9°.

Разбалловка.

Качественное понимание происходящего (включая пилообразную зависимость). Утверждение о равенстве количества теплоты, отводимого от воды и передаваемой ей кипятильником - 1 балл.

Величина DT - 1 балл.

Величина DT' - 1 балл.

Задача 4.

Для начала найдем распределение давления в жидкости по системе:

• С самого низу - атмосферное давление Р₀
• Над нижним поршнем под действием груза образуется разрежение P₀ - mg/S₂, удерживающее его, т.к. (P₀ - (P₀-mg/S/₂)) = mg
• При подъеме в жидкости на высоту h давление понижается на rgh.
• И, наконец, сверху опять атмосферное давление.

За распределение давлений - 1 балл.

Пусть Dx₁, Dx₂ - перемещение первого и второго поршня вниз. Но внутренний объем между поршнями должен остаться неизменным. Значит, сколько добавится пространства сверху - столько и убудет снизу: S₁Dx₁ = S₂Dx₂ => Dx₂ = 9Dx₁

Тогда новая высота столба жидкости будет: h = h₀ + (Dx₂ - Dx₁) = h₀ + 8Dx₁ - 1 балл

Сила упругости пружины должна уравновешивать разницу давлений на верхнем поршне:

kDx₁ - 8rgS₁Dx₁ = 9mg + rgS₁h₀

- 1 балл,

это можно записать, и не используя соотношения площадей (не обязательно):

Задача 5.

Поскольку плотность жидкости линейно зависит от глубины, сила Архимеда, действующая на шарик, определяется плотностью жидкости на той глубине, на которой находится центр шарика - 1 балл.

Если бы шарики не были связаны (или если бы нить не была натянута), то их центры находились бы на глубине 20 см и 40 см. Но нить не позволяет центрам шариков расходиться дальше, чем на 15 см. Следовательно, нить будет натянута - 1 балл.

2 балла за пару уравнений для шариков

(r₀+ah₁)gV = m₁g + T

(r₀+ah₂)gV + T = m₂g

или за уравнение для системы в целом

(r₀+ah₁)gV + (r₀+ah₂)gV = m₁g + m₂g

h₂ = h₁ + l - 1 балл (это уравнение верно, только если нить натянута).

h₁ = (m₁+m₂)/(2aV) - r₀/a - l/2

h₂ = (m₁+m₂)/(2aV) - r₀/a + l/2

h₁ = 22,5 см

h₂ = 37,5 см - 1 балл.

Правильный ответ можно получить, не анализируя, натянута нить или нет. За такое решение можно получить не более 5 баллов.

Разумеется, уравнения можно записывать, сразу подставляя численные значения.

Задача 6.

Обозначим объем шара V, плотности воды и грузов r₀ и r₁ соответственно. Сила, необходимая для отрыва первого груза:

F₁ = Mg - r₀gV/2 = Mg(1-r₀/(2r₁)) = 90 Н - 2 балла.

Ко второму грузу неприменимо понятие силы Архимеда. Необходимая для отрыва сила равна сумме силы тяжести Mg и силы, с которой вода давит на полусферическую поверхность. Существует несколько способов найти последнюю силу.

Например, она равна весу жидкости, расположенной над полусферой. Объем этой жидкости равен Sh - V/2, поэтому

F_давл = r₀g(Sh - V/2)

С другой стороны, представим, что под вторым грузом находится не дно, а вода. Тогда сила Архимеда, действующая на груз, равна разности сил давления, действующих на верхнюю и нижнюю поверхности груза:

-r₀gV/2 = F_давл - r₀ghS - тот же результат.

Итак, сила, необходимая для отрыва второго груза:

F₂ = Mg/2 + r₀g(Sh - V/2) = Mg(1-r₀/r₁)/2 + r₀ghS = 55 Н - 2 балла.

Обозначим l расстояние от левого конца коромысла до искомой точки. Правило рычага:

F₁l = F₂(L - l) - 1 балл (этот балл можно получить, не вычислив F₁ и F₂).

l = LF₂/(F₁ + F₂) = 38 см - 1 балл.

Задача 7.

Схему надо представить в виде

Тогда становится очевидно (из свойств параллельных и последовательных соединений), что:

1 балл Напряжения на резисторах 1 (6 Ом) и 2 (3 Ом) равны (это можно понять, не перерисовывая схему)

1 балл Ток через резистор 2 (3 Ом) равен 0.2 А

1 балл Ток через резистор 4 (8 Ом) 0.3 А

1 балл Напряжение на резисторах 2 (3 Ом) и 4 (8 Ом) (или 1 и 4) равно 3 В

1 балл Напряжение на резисторе 3 (15 Ом) равно 3 В

1 балл Ток через резистор 3 (15 Ом) равен току 2-го амперметра и равен 0.2 А