Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 10 класса (район 2003)

Подробности

Обновлено 31.03.2013 12:20

Решения задач районного тура 2003 года для 10 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5

Задача 1.

Уравнение движения системы, m·dV/dt = -mmg, показывает, что ускорение мелка постоянно, a = -mg. Путь, пройденный мелком с ускорением a за время t, равен l = Vt-at²/2. Если hl≤m, то мелок остановится раньше, чем сотрется. В этом случае, время движения t = V/mg, а пройденный путь равен l = V²/2mg. Иначе, если мелок истирается, то пройденный им путь l = m/h, а время движения удовлетворяет квадратному уравнению at²-2Vt+2l = 0.

Ответ: Если hV²/2mg ≤ m, то время движения мелка t = V/mg, а l = V²/2mg. Иначе, мелок истирается полностью, и время его движения дается наименьшим положительным корнем квадратного уравнения, t = [V-(V²-2mmg/h)^1/2]/mg, l = Vt-at²/2 = mV/h-mm²g/2h².

Задача 2.

Из соображений симметрии, угол при основании равен 45°, ускорения верхнего и нижнего шариков равны и лежат в плоскости стержней. Уравнения движения для верхнего (на ось OY) и нижнего (на ось OX) шариков суть 1 вар: mg - T √2 = ma, T / √2 = 2ma 2 вар: 2mg - T √2 = 2ma, T / √2 = ma. Складывая оба уравнения, имеем 1 вар: mg = 5ma 2 вар: 2mg = 4ma.

Ответ: 1 вар. a = g/5 2 вар. a = g/2

Задача 3.

Вначале шарик лежит на поршне, значит, |F_тр| ≥ g(m+M). Поршень не может уехать вниз на бесконечное расстояние, иначе тепло, выделяющееся в результате трения, Q = |F_тр|z, превосходило бы соответствующее изменение потенциальной энергии, DP = (m+M)gz при том же перемещении. Запишем закон сохранения энергии: mg(h+z)+Mgz = F_трz. Для 2 варианта, (m+M)gz+mv²/2 = F_трz.

Ответ: 1 вар За достаточно большое время перемещение поршня составит z = mgh / [F_тр-(m+M)g]. 2 вар z = mv²/2 / [F_тр-(m+M)g].

Задача 4.

Масса намерзшего льда m_льда = pr₁(d₁²-d₂²)/4. В баке осталось pr₀LD²/4 - m_льда = m_воды. Далее, m_{стержня} = pr_md²L/4. Уравнение теплового баланса для 1 вар: с_mm_{стержня}(T_f-T_m) = m_льда[с₀(X-T₀)+l+с₁(T₀-T_f)]+m_водыс₀(X-T₂), 2вар: с_mm_{стержня}X = m_льда[с₀(T₁-T₀)+l+с₁(T₀-T_m-X)]+m_водыс₀(T₁-T₂), есть уравнения на искомую температуру X.

Ответ: 1вар X = [с_mr_m(T_f-T_m)-r₁(d₁²-d₂²)[-с₀T₀+l+с₁(T₀-T_f)]+с₀T₂[r₀D²-r₁(d₁²-d₂²)]]/с₀r₀D², 2вар X = [r₁(d₁²-d₂²)[с₀(T₁-T₀)+l+с₁(T₀-T_m)]+[r₀D²-r₁(d₁²-d₂²)]с₀(T₁-T₂)].

Задача 5.

Баланс мощностей для резистора R(T) есть CdT/dt = R(T)I²-P(T), где P(T) - мощность теплопередачи, записывается для t = 0, t_max-0, t_max+0, где t_max - момент, когда температура максимальна, T = T_max. Обозначим производную dT/dt в эти моменты времени как A, B, G, соответственно. Cопротивления в те же моменты - R₀ и R₁, а мощности - P₀ = 0 и P₁. Имеем, CA = R₀I², CB = R₁I² - P₁, CG = -P₁. Комбинируя эти уравнения, получаем aT_max = (B-G-A)/A.

Ответ: 1вар T_max = 40°C, A = 2°C/c, G = -3°C/c, a ~ 0.04°C^-1. 2вар T_max = 100°C, A = 2°C/c, G = -2,5°C/c, a ~ 0.013°C^-1.