Решения 9 класса (город 2002)

Подробности
Обновлено 31.03.2013 12:23

Решения задач городского тура 2002 года для 9 класса (кроме задачи 1).

Решения задач

Городской тур. 2002 год. 9 класс. Решения задач.

2 · 3 · 4 · 5

Задача 2.

Обозначим угол наклонной плоскости a, коэфициент трения m, а массу бруска m. Тогда

F1 = mmgcosa + mgsina,
F2 = mmgcosa - mgsina

Отсюда

mmgcosa = (F1 + F2)/2,
mgsina = (F1 - F2)/2

Поскольку тело движется вдоль плоскости, сила реакции опоры всегда равна mgcosa, и максимальная сила трения покоя равна mmgcosa.

Рассмотрим проекции всех сил на наклонную плоскость. На рисунке изображены сила трения Fтр, проекция силы тяжести Fтx = mgsina и сила F. Сумма этих сил равна нулю. Силу F можно увеличивать до тех пор, пока сила Fтр не превышает mmgcosa. Максимальное значение силы F, при котором брусок еще неподвижен, дается выражением

F2 + (mgsina)2 = (mmgcosa)2

F2 + (F1 - F2)2/4 = (F1 + F2)2/4

Это значение F и является ответом.

Задача 3.

Пусть при некоторой температуре растворимость соли равна k. Определим плотность насыщенного раствора при этой температуре.

Рассмотрим некоторый объем воды V. Масса соли, которая может раствориться в этой воде, равна kV. Тогда масса раствора будет равна r0V + kV. Поскольку уровень жидкости в резервуаре при растворении соли не меняется, объем раствора равен сумме объемов воды и соли V + kV/r. Таким образом, плотность насыщенного раствора равна rр = (r0 + k)/(1 + k/r).

Теперь запишем условие всплытия мешка.

Рассмотрим силы, действующие на систему "мешок с солью + поплавок". Часть соли из мешка (массой kV1) растворяется, увеличивая плотность жидкости и уменьшая массу мешка с солью. Сила тяжести, действующая на систему, равна rпVg + (M - kV1)g. Архимедова сила равна rрgV + rрg(M - kV1)/r. Поэтому условие всплытия мешка

Выражая из этого уравнения k, получаем

По графику находим температуру, при которой соль имеет растворимость 330 г/л. Эта температура равна 40°C, поэтому систему надо нагреть на DT = 25°C. Осталось найти теплоту, необходимую для нагревания.

Q = DT (cпrпV + c0V1r0 + cM) = 116 МДж

Задача 4.

Точное решение

Воспользуемся формулами для сопротивления параллельных и последовательных соединений:

Приведем к общему знаменателю левые части:

Разделим второе и третье уравнения на первое:

Рассмотрим эти два уравнения как систему с неизвестными R1 и R2. Выразим их через R3:

R1 = 248.4R3 = k1R3
R2 = 1.499R3 = k2R3

Теперь подставим эти выражения в самое первое уравнение и получим

Отсюда R3 = 4.016 Ом. Теперь можно найти R1 = 997.6 Ом и R2 = 6.020 Ом.

Приближенное решение

Поскольку при перестановке резисторов 1 и 3 сопротивление схемы значительно возрастает, а при перестановке резисторов меняется слабо, можно заключить, что сопротивление резистора 1 значительно больше сопротивлений резисторов 2 и 3:

R1 >> R2, R1 >> R3

Обозначим r = 10 Ом, N = 100, k = 0.002 и запишем данные задачи в виде уравнений:

R1R2/(R1+R2) + R3 = r
R2R3/(R2+R3) + R1 = Nr
R1R3/(R1+R3) + R2 = (1 + k)r

Преобразуем левую часть первого уравнения, учитывая то, что сопротивление резистора 1 значительно больше сопротивлений резисторов 2 и 3 и используя формулу (1+x)-1 ≈ 1-x при x<<1:

R1R2/(R1+R2) = R2(1 + R2/R1)-1 ≈ R2(1 - R2/R1)

Аналогично преобразуем и третье уравнение. Получим

R2(1 - R2/R1) + R3 = r
R2R3/(R2+R3) + R1 = Nr
R3(1 - R3/R1) + R2 = (1 + k)r

Вычтем из третьего уравнения второе:

R2(1 - R2/R1) + R3 = r
R2R3/(R2+R3) + R1 = Nr
(R32 - R22)/R1 = kr

Теперь в первом уравнении пренебрежем вторым слагаемым в скобках по сравнению с первым (т.е. единицей), а во втором уравнении пренебрежем первым слагаемым по сравнению со вторым.

R2 + R3 = r
R1 = Nr
(R32 - R22)/R1 = kr

Подставим в третье уравнение R1 из второго и разделим его на первое.

R1 = Nr
R3 + R2 = r
R3 - R2 = kNr

Теперь решение системы очевидно.

R1 = Nr = 1000 Ом
R2 = (1 - kN)r/2 = 4 Ом
R3 = (1 + kN)r/2 = 6 Ом

Задача 5.

Поскольку в условии сказано, что в третьем случае стержень составляет малый угол с вертикалью, в дальнейшем будем считать, что силы взаимодействия стержня с бусинками направлены вертикально.

Пусть бусинка движется по спирали под действием некоторой вертикальной силы F (в первом случае это сила тяжести, в третьем - равнодействующая сил тяжести и упругости стержня). Кроме нее, на бусинку действует сила реакции со стороны спирали. Очевидно, что сила реакции пропорциональна силе F, и поэтому вертикальное ускорение бусинки также пропорционально F:

aверт = aF

Здесь a - некий коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических характеристик спирали и массы бусинки m.

Аналогичное утверждение верно и для бусинки, движущейся по вертикальному стержню. Ее вертикальное ускорение также пропорционально действующей силе F:

aверт = bF

(В этом случае коэффициент b равен обратной массе бусинки.)

Обозначим вертикальные ускорения бусинок во всех трех случаях a1, a2, a3. В первых двух случаях бусинки двигаются под действием силы тяжести, поэтому

a1 = amg
a2 = bmg

В третьем случае на верхнюю бусинку действует сила mg+T, а на нижнюю mg-T, где T - сила упругости стержня. При этом вертикальные ускорения обеих бусинок равны a3:

a3 = a(mg + T) = b(mg - T)

Из третьего уравнения выражаем T:

T = mg(b-a)/(b+a)

Подставляем a = a1/mg и b = a2/mg:

T = mg(a2-a1)/(a2+a1)

Это выражение для T подставляем в формулу для a3:

a3 = 2a1a2/(a1+a2)

Поскольку во всех трех случаях бусинки проходят одно и то же расстояние L = a1T12/2 = a2T22/2 = a3T32/2,

T3-2 = 2T1-2T2-2/(T1-2+T2-2)