Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 10 класса (город 2002)

Подробности

Обновлено 31.03.2013 12:19

Решения задач 2 и 3 городского тура 2002 года для 10 класса.

Решения задач

Городской тур. 2002 год. 10 класс. Решения задач.

2 · 3

Задача 2.

В начальный момент ускорения всех точек веревки направлены по касательной к цилиндру и равны по модулю. Обозначим ускорение каждой точки веревки a.

Пусть с начального момента прошло малое время t, на протяжении которого движение можно считать равноускоренным. За это время веревка сместится на l = at²/2 и наберет скорость v = at. Определим уменьшение потенциальной энергии веревки. С точки зрения положения центра масс, смещение веревки эквивалентно переносу отрезка длиной l из верхней части веревки в нижнюю. Масса этого отрезка веревки равна ml/(pR/2), а уменьшение высоты - R. Таким образом, изменение потенциальной энергии равно ml/(pR/2)·gR. Эта энергия перешла в кинетическую энергию веревки:

ml/(pR/2)·gR = mv²/2

Подставляя сюда выражения для l и v, получаем

a = 2g/p

Теперь рассмотрим часть веревки, заключенную между ее нижним концом и точкой A. Его масса равна ma/(p/2). Кинетическая энергия этой части веревки равна сумме работ силы тяжести и силы натяжения веревки T. Работа силы натяжения равна -Tl, а работа силы тяжести равна уменьшению потенциальной энергии, которое вычисляется аналогично. В данном случае отрезок веревки длины l опускается на расстояние Rsina. Окончательно получаем:

ml/(pR/2)·gRsina - Tl = ma/(p/2)·v²/2

Подставляя выражения для l, v и a, после упрощений получаем ответ

T = (sina - 2a/p)·2mg/p

Сила натяжения обращается в ноль на концах веревки.

Задача 3.

Пусть газ, совершая цикл ABCGA, получает от нагревателя тепло Q₁, отдает холодильнику тепло Q₂ и совершает работу A. Тогда по закону сохранения энергии

A = Q₁ - Q₂,

а КПД цикла ABCGA

h = A/Q₁.

Рассмотрим цикл CDEFC. Заметим, что он получается из цикла ABCGA увеличением объема в каждой точке в 2 раза. Внутренняя энергия (U = const·nRT = const·pV), совершаемая газом работа (DA = pDV), а, значит, и получаемое или отдаваемое газом тепло (DQ = DU + DA) пропорциональны объему или изменению объема. Следовательно, в цикле CDEFC газ получит от нагревателя тепло 2Q₁, отдаст холодильнику тепло 2Q₂ и совершит работу 2A. При этом важно, что переход от получения тепла к отдаче и наоборот происходит в соответственных точках циклов (т.е. точках с равными давлениями и отличающимися вдвое объемами).

Прохождение газом цикла AGCDEFCBA эквивалентно сначала прохождению цикла CDEFC, а затем цикла ABCGA в обратном направлении. Проходя цикл ABCGA в обратном направлении, газ получает тепло Q₂, отдает тепло Q₁ и совершает работу -A.

Таким образом, в цикле AGCDEFCBA газ получает от нагревателя тепло 2Q₁+Q₂ и совершает работу 2A-A.

Поскольку A = hQ₁ и Q₂ = Q₁ - A = (1 - h)Q₁, КПД цикла AGCDEFCBA равен