Решения 8 класса (город 2002)

Подробности
Обновлено 31.03.2013 12:22

Решения задач городского тура 2002 года для 8 класса.

Первый этап: 1 · 2 · 3 · 4. Второй этап: 5 · 6 · 7

Первый этап.

Задача 1.

Условие задачи некорректно - там сказано, что единицы отличаются в a, b, g раз - но не сказано, в какую сторону. В приведенном решении считается, что единицы измерения в a, b, g раз больше. Рассказывая свое решение, школьник может считать по-другому - это не должно влиять на оценку задачи. При этом в процессе собеседования надо понимать, какую именно трактовку условия выбрал школьник.

Возможное решение 1

Известна формула размерности для силы

Н = кг · м / с2

В новой стране приняты другие величины: Н1, кг1, м1, с1. При этом

Н1 = кг1 · м1 / с12

Комбинируя эти две формулы, получим:

Н1/Н = (кг1/кг)·(м1/м)·(с2/с12)

Из условия задачи

кг1/кг = a
м1/м = b
с1/с = g

Подставляя, мы получим ответ:

Н1/Н = ag/b2

Возможное решение 2

Можно воспользоваться формулами для связи силы с другими величинами. Учитывая, что единицы измерения соответствующих величин связаны теми же формулами (см. ниже решение 3), можно легко получить:

В частности, для единиц СИ:

Возможное решение 3

Обычно единицы измерения производных величин (например, силы) определяются через единицы измерения более простых величин. Единица силы определяется через единицу массы и единицу ускорения, то есть единичная сила сообщает телу единичной массы единичное ускорение. Единичным ускорением, в свою очередь называется ускорение, при котором тело меняет свою скорость на единицу скорости за единицу времени. Единица скорости, очевидно, равна единице расстояния, деленной на единицу времени.

Чтобы определить, как будет меняться единица силы, можно воспользоваться следующими качественными соображениями. При увеличении массы в g раз единица силы тоже увеличится в g раз, так как более тяжелое тело сложнее разгонять. Единица скорости увеличится в a раз и уменьшится в b раз, так как для прохождения большего в a раз расстояния требуется большая в a раз скорость. Аналогично, для прохождения расстояния за время, которое в b раз меньше, требуется в b раз большая скорость. При фиксированной единице скорости ускорение уменьшилось бы в b раз, так как для изменения скорости на ту же величину за меньшее в b раз время требуется в b раз большее ускорение. Разумеется, школьниками могут быть приведены другие качественные соображения, аналогичные этим.

В конце концов:

[Новая ед. силы] в g больше, в a/b больше, в b меньше, чем старая единица.

Получаем ответ:

[Новая ед. силы] = ag/b2 [Старая ед. силы]

Оценка решений

Школьник понимает, как посчитать отношение единиц измерения для любой величины. Это может быть сделано любым из приведенных выше методов. Наиболее просто показать, что единицы скорости соотносятся как a/b. 1.5 балла.

Правильная зависимость ответа от g. 0.5 балла.

Правильная зависимость ответа от a и b. 1 балл.

Последние 1.5 балла школьник может получить только в случае, когда первые 1.5 балла уже получены.

Возможные оценки после собеседования: 1.5 балла, 2 балла, 2.5 балла, 3 балла.

Задача 2.

Обозначим искомую силу Fтр. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению.

Кроме силы трения, на брусок действуют силы тяжести и реакции опоры. Сила реакции опоры имеет нулевую проекцию на наклонную плоскость, а проекцию силы тяжести на наклонную плоскость обозначим mgx (она направлена вниз по наклонной плоскости).

Поскольку брусок может покоиться на наклонной плоскости, mgx < Fтр. Когда брусок тащат вверх, сила трения и проекция силы тяжести направлены в одну сторону, когда вниз - в противоположные. Поэтому

F1 = Fтр + mgx
F2 = Fтр - mgx

Отсюда получаем ответ

Задача 3.

В задаче три вопроса, ответ на каждый из которых оценивается в 1 балл.

  1. Школьник должен объяснить, что при полете человека с гирей сила трения об воздух не увеличивается, а сила тяжести увеличивается - это позволяет ему развить большую скорость. 1 балл.
  2. Открывать парашют, пока гиря еще не выпущена из рук, опасно и неэффективно, так как при этом увеличивается тормозной путь и возрастает риск приземлиться со скоростью больше предельной. Это эквивалентно уменьшению достигаемой максимальной скорости. После отпускания гири человек начинает замедляться. Это связано с уменьшением силы тяжести, разгоняющей человека. Если раскрыть парашют на большой скорости, человек может получить травмы. Поэтому после отпускания гири, когда скорость человека начинает уменьшаться, должно пройти некоторое время до момента раскрытия парашюта. 1 балл.
  3. Правильный график смотри ниже. Учитывается только правильная монотонность кривых и то, что время полета гири всегда меньше времени полета человека. Если из-за сложной формулировки школьник не понимает, какой именно график надо построить, не забудьте объяснить ему это. Школьник должен подробно пояснить построение именно такого графика. 1 балл.

Задача 4.

Обозначим: M - масса соли, V = 0,1 м3 - объем поплавка, V0 = 1 м3, плотность пробки rп = 240 кг/м3, плотность воды r0 = 1000 кг/м3, плотность кристаллов соли r = 3000 кг/м3.

Когда контейнер оказался залитым водой, соль начала растворяться, вследствие чего масса контейнера начинает уменьшаться. Вычислим, сколько соли из контейнера растворится. Так как в одном литре может раствориться k = 0,35 кг соли, то в 1 м3 = 1000 л растворится 350 кг. Таким образом, после окончания процесса растворения масса контейнера составит

m = M - k = (490 - k) кг.

С другой стороны, вода начинает насыщаться солью, ее плотность возрастает, что приводит к увеличению архимедовой силы, действующей на контейнер и поплавок. Найдем плотность раствора после окончания процесса. Так как по условию уровень жидкости в резервуаре не меняется, при смешении 1 литра (1 кг) воды и k кг соли получается раствор массой 1+k, занимающий объем, равный сумме объемов исходных компонент: . Таким образом, плотность насыщенного раствора составит:

Контейнер всплывет, если полная сила тяжести, действующая на контейнер и пробку, mg+rпVg, окажется меньше, чем выталкивающая сила, действующая на поплавок и контейнер с солью, . Подставляя приведенные в условии значения, находим, что

Таким образом, контейнер с пробкой всплывет.

Второй этап.

Задача 5.

Пронумеруем блоки так, как показано на рисунке. Пусть спасатели протащили свой конец веревки на расстояние a, а плита сдвинулась на расстояние b. При этом блоки 2, 4 и 5 неподвижны, блок 3 переместится на расстояние b влево, а блок 1 также сместится влево на некоторое расстояние, которое мы обозначим c.

При перемещении плит и блоков веревки изменят форму так, как показано на рисунке (новые положения веревок обозначены красными линиями). Поскольку веревки нерастяжимы, длина каждой из них не изменится:

a - 2c - b = 0
c - 3b = 0

Из этих уравнений a = 7b.

Обозначим силу, действующую на плиту со стороны веревок, F'. По "золотому правилу" механики

Fa = F'b

F' = 7F

Задача 6.

Мячик движется равноускоренно в поле силы тяжести. В начальный момент проекция скорости на вертикальную ось равна v0. Через время v0/g скорость обращается в ноль, а еще через такое же время ее проекция равна -v0. В моменты удара о землю скорость мгновенно меняет направление на противоположное. Поэтому искомый график состоит из отрезков прямых.

Разбалловка:

  • График на участке от броска до первого падения (прямая, идущая вниз и пересекающая ось абсцисс) - 2 балла. Если график - монотонная, но не прямая линия - 1 балл, при этом ученику можно сказать, что график не вполне точен.

Также учащийся получает эти баллы, если вместо скорости нарисует модуль скорости. Однако при этом надо сказать ему, что нужно построить график проекции скорости. При этом можно пояснить, что проекцией скорости называется отношение изменения координаты ко времени, за которое это изменение произошло. Более подробных объяснений приводить не следует.

  • Скачок скорости в момент удара - 3 балла.
  • Особые точки на графике - 1 балл.

Задача 7.

Обозначим через b сторону ледяного куба, плотность льда rл, плотность меди rм, плотность воды r0. Найдем b из соотношения между массой и объемом льда:

(1)

Глубина, на которую тело погружено в воду, целиком определяется плотностями этого тела и воды. Так, ледяной куб со стороной b первоначально плавает, погрузившись в воду на глубину

(2)

Предположим, окончательно кубик меди проплавил во льду отверстие глубиной x < a (вся растопленная вода выливается, см. рис. 1). При этом x связано с начальной температурой меди уравнением теплового баланса

cмmt = lrлxa2 (3)

где m - масса меди, t - температура меди, отсчитываемая от 0 градусов по Цельсию. Левая часть выражения (3) представляет собой теплоту, отданную медью при остывании, правая часть - теплоту, затраченную на плавление льда объемом xa2. Из (3) находим x

(4)

где обозначим .

Так как теперь внутри льда содержится медь, средняя плотность плавающего тела увеличилась по сравнению с первоначальной. Найдем эту среднюю плотность, разделив массу льда с медью на объем льда:

В последнем равенстве в числителе мы учли, что часть льда объемом xa2 растаяла и вылилась. Подставляя m, b и x, найдем

Таким образом, глубина погружения составит

(5)

График этой зависимости линейный (см. рис. 2, участок t < t0).

Из графика видно, что для того, чтобы x было меньше a (чтобы вся вода, образовавшаяся изо льда, вытекала, что обеспечивает справедливость формулы (5)), параметр k должен быть меньше 1. Это имеет место при температурах . Начиная с температуры t = t0, при увеличении t вода перестает выливаться из углубления (т.к. rл < r0 и вода, образовавшаяся в результате таяния льда, имеет меньший объем, чем исходный лед). Таким образом, rср перестает изменяться, как и h(t) (см. рис. 2, участок t0 < t < t1).

Возможен также случай, когда медь насквозь проплавляет лед и тонет. Это происходит, если , то есть при температурах выше, чем . Очевидно, в этом случае глубина погружения сравняется с первоначальной (см. рис. 2, участок t > t1).