Решения 7 класса (город 2002)

Подробности
Обновлено 31.03.2013 12:21

Решения задач городского тура 2002 года для 7 класса.

Первый этап: 1 · 2 · 3 · 4. Второй этап: 5 · 6 · 7

Первый этап.

Задача 1.

Условие задачи некорректно - там сказано, что единицы отличаются в a, b, g раз - но не сказано, в какую сторону. В приведенном решении считается, что единицы измерения в a, b, g раз больше. Рассказывая свое решение, школьник может считать по-другому - это не должно влиять на оценку задачи. При этом в процессе собеседования надо понимать, какую именно трактовку условия выбрал школьник.

Возможное решение 1

Известна формула размерности для силы

Н = кг · м / с2

В новой стране приняты другие величины: Н1, кг1, м1, с1. При этом

Н1 = кг1 · м1 / с12

Комбинируя эти две формулы, получим:

Н1/Н = (кг1/кг)·(м1/м)·(с2/с12)

Из условия задачи

кг1/кг = a
м1/м = b
с1/с = g

Подставляя, мы получим ответ:

Н1/Н = ag/b2

Возможное решение 2

Можно воспользоваться формулами для связи силы с другими величинами. Учитывая, что единицы измерения соответствующих величин связаны теми же формулами (см. ниже решение 3), можно легко получить:

В частности, для единиц СИ:

Возможное решение 3

Обычно единицы измерения производных величин (например, силы) определяются через единицы измерения более простых величин. Единица силы определяется через единицу массы и единицу ускорения, то есть единичная сила сообщает телу единичной массы единичное ускорение. Единичным ускорением, в свою очередь называется ускорение, при котором тело меняет свою скорость на единицу скорости за единицу времени. Единица скорости, очевидно, равна единице расстояния, деленной на единицу времени.

Чтобы определить, как будет меняться единица силы, можно воспользоваться следующими качественными соображениями. При увеличении массы в g раз единица силы тоже увеличится в g раз, так как более тяжелое тело сложнее разгонять. Единица скорости увеличится в a раз и уменьшится в b раз, так как для прохождения большего в a раз расстояния требуется большая в a раз скорость. Аналогично, для прохождения расстояния за время, которое в b раз меньше, требуется в b раз большая скорость. При фиксированной единице скорости ускорение уменьшилось бы в b раз, так как для изменения скорости на ту же величину за меньшее в b раз время требуется в b раз большее ускорение. Разумеется, школьниками могут быть приведены другие качественные соображения, аналогичные этим.

В конце концов:

[Новая ед. силы] в g больше, в a/b больше, в b меньше, чем старая единица.

Получаем ответ:

[Новая ед. силы] = ag/b2 [Старая ед. силы]

Оценка решений

Школьник понимает, как посчитать отношение единиц измерения для любой величины. Это может быть сделано любым из приведенных выше методов. Наиболее просто показать, что единицы скорости соотносятся как a/b. 1.5 балла.

Правильная зависимость ответа от g. 0.5 балла.

Правильная зависимость ответа от a и b. 1 балл.

Последние 1.5 балла школьник может получить только в случае, когда первые 1.5 балла уже получены.

Возможные оценки после собеседования: 1.5 балла, 2 балла, 2.5 балла, 3 балла.

Задача 2.

Возможное решение

  • 0.5 балла. Выражение для давления лунохода на образец поверхности: p = mg/S;
  • 1 балл. Соотношение подобия для массы: m = rV ~ l3, где l - размеры лунохода; По другому mЛунохода/mМодели = lЛунохода3/lМодели3
  • 1 балл. Соотношение подобия для площади: S ~ l2 или SЛунохода/SМодели = lЛунохода2/lМодели2
    итоговое соотношение: p = gl или pЛунохода/pМодели = (gЛуны/gЗемли)·(lЛунохода/lМодели)
  • 0.5 балла. Ответ: .

Возможное неверное решение

В момент разрушения грунта действующие на него со стороны лунохода силы должны быть равны на Земле и на Луне. Но F = mg ~ l3. Следовательно: . За такое решение следует поставить школьнику 1 балл и сказать ему, что грунт разрушается от давления, а не от силы, как и написано в условии. При этом пояснять разницу между давлением и силой давления не следует (это почти равноценно первым 0.5 баллам). 1 балл.

Задача 3.

Возможное решение

Направление следа на окне совпадает с направлением скорости капель дождя относительно транспортного средства. Эта скорость является векторной разностью скорости капель относительно земли u и скорости транспортного средства V относительно земли. Вектор u не обязательно направлен вертикально, а V в любом случае горизонтален. Конец вектора скорости автомобиля лежит посередине между концами векторов скоростей автобуса и грузовика.

Отсюда следует построение, позволяющее получить ответ:

  1. Провести две горизонтальные прямые (AD и BF - данные в условии следы).
  2. Опустить из точек A и B перпендикуляры AE и BG.
  3. Из произвольной точки C опустить перпендикуляр CI.
  4. Отложить отрезок IH = (ED+GF)/2.
  5. Прямая CH - ответ.

Перед этим построением можно сделать параллельный перенос прямых, данных в условии. В частности, возможно построение, при котором точки A, B и C (а также E, G и I) совпадают, а H - середина отрезка DF.

При этом важно, что отрезки DE, FG и HI не представляют скорости автобуса, грузовика и автомобиля соответственно (то есть не пропорциональны им), так как дождь, вообще говоря, не вертикален.

Оценка решений

  • Идея о том, что направление следа на окне определяется скоростью капель дождя относительно транспортного средства - 1 балл.
  • Картинка, изображающая сложение скоростей, или заменяющие ее рассуждения - 1 балл.
  • Построение ответа - 1 балл.
  • Решение, предполагающее вертикальность дождя, оценивается из 2 баллов: 1 балл за идею об относительной скорости и 1 балл за построение (признаком этого решения является утверждение о том, что отрезки DE, FG и HI пропорциональны скоростям). Не следует рассказывать или намекать школьнику, что дождь не обязательно вертикален. Достаточно сказать, что решение не полно и не учитывает всех возможных случаев, если при этом школьник догадается до косого дождя и спросит об этом прямо - ему можно ответить, что это единственная неточность в его решении.

Задача 4.

В задаче три вопроса, ответ на каждый из которых оценивается в 1 балл.

  1. Школьник должен объяснить, что при полете человека с гирей сила трения об воздух не увеличивается, а сила тяжести увеличивается - это позволяет ему развить большую скорость. 1 балл.
  2. Открывать парашют, пока гиря еще не выпущена из рук, опасно и неэффективно, так как при этом увеличивается тормозной путь и возрастает риск приземлиться со скоростью больше предельной. Это эквивалентно уменьшению достигаемой максимальной скорости. После отпускания гири человек начинает замедляться. Это связано с уменьшением силы тяжести, разгоняющей человека. Если раскрыть парашют на большой скорости, человек может получить травмы. Поэтому после отпускания гири, когда скорость человека начинает уменьшаться, должно пройти некоторое время до момента раскрытия парашюта. 1 балл.
  3. Правильный график смотри ниже. Учитывается только правильная монотонность кривых и то, что время полета гири всегда меньше времени полета человека. Если из-за сложной формулировки школьник не понимает, какой именно график надо построить, не забудьте объяснить ему это. Школьник должен подробно пояснить построение именно такого графика. 1 балл.

Второй этап.

Задача 5.

Возможное решение

  • 1 балл. Тела одинаковой формы двигаются с равными скоростями на большом расстоянии друг от друга. Следовательно, действующие на них силы сопротивления воздуха Fс равны по абсолютной величине;
  • 1 балл. Силы, действующие на каждое тело, компенсируются. В условии это сказано лишь про всю систему - следовательно, это требует пояснения со стороны школьника. Должно быть сказано, что каждое тело по отдельности движется с постоянной скоростью, и поэтому силы компенсируются. Доказывать это утверждение, ссылаясь, например, на второй закон Ньютона, школьники не должны - они его просто не знают. Достаточным обоснованием будет ссылка на условие задачи, где сказано, что для равномерно движущихся тел все силы компенсируются.

Пусть для определенности r2 > r1. Тогда второе тело будет лететь ниже первого.

Уравнения движения:

  • для первого тела: r1Vg + T = Fс, где T - искомая сила натяжения нити;
  • для второго тела: r2Vg - T = Fс.

Эти уравнения оцениваются:

  • 1 балл - правильный учет силы сопротивления.
  • 1 балл - правильный учет силы натяжения нити.
  • 1 балл - правильный учет силы тяжести.

Эти баллы могут быть получены, если уже получен балл за доказательство компенсации сил. Если школьник приводит эти формулы без каких-либо пояснений - надо сказать ему, что следует пояснить эти формулы, не давая при этом никаких баллов.

Вычитая из первого выражения второе, получаем ответ:

  • 1 балл. .

Если считать, что первое тело тяжелее, ответ будет другого знака. Также в этом случае поменяются знаки для силы натяжения в уравнениях (см. выше).

Задача 6.

Мячик движется равноускоренно в поле силы тяжести. В начальный момент проекция скорости на вертикальную ось равна v0. Через время v0/g скорость обращается в ноль, а еще через такое же время ее проекция равна -v0. В моменты удара о землю скорость мгновенно меняет направление на противоположное. Поэтому искомый график состоит из отрезков прямых.

Разбалловка:

  • График на участке от броска до первого падения (прямая, идущая вниз и пересекающая ось абсцисс) - 2 балла. Если график - монотонная, но не прямая линия - 1 балл, при этом ученику можно сказать, что график не вполне точен.

Также учащийся получает эти баллы, если вместо скорости нарисует модуль скорости. Однако при этом надо сказать ему, что нужно построить график проекции скорости. При этом можно пояснить, что проекцией скорости называется отношение изменения координаты ко времени, за которое это изменение произошло. Более подробных объяснений приводить не следует.

  • Скачок скорости в момент удара - 3 балла.
  • Особые точки на графике - 1 балл.

Задача 7.

  • 1.5 балла. Если x < H - l0, то пружина не касается бруска. В этом случае давление определяется формулой: p = rgx;
  • 1.5 балла. Если x > H - l0, пружина будет сжиматься и давить на брусок. Величина сжатия: l0 + x - H, действующая сила по закону Гука: F = k(l0 + x - H);
  • 1.5 балла. Полное давление во втором случае: ;
  • 1.5 балла. График с правильными граничными точками.
  1. Возможно, школьники будут считать, что пружина прикреплена к бруску. Тогда, при малых x, брусок повиснет на пружине и давление на пол будет равно нулю. В этом случае ученик может получить 3 балла из второго и третьего пунктов. Кроме того, ему обязательно надо пояснить, что пружина не прикреплена к бруску.
  2. Если школьник считает вместо давления силу давления, он может получить за все решение 1.5 балла из второго пункта. При этом ему надо указать, что в условии его просят именно давление.