Решения 7 класса (город 2003)

Подробности
Обновлено 31.03.2013 12:22

Решения задач городского тура 2003 года для 7 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

Полностью заполняем стеклянный сосуд водой. Опускаем в сосуд шар, оставив дырки свободными. Определяем объем вылившейся воды (например, с помощью мензурки смотрим сколько нужно долить воды, чтобы опять заполнить сосуд доверху). Этот объем равен суммарному объем оболочки полого медного шара и медного шара внутри. - 1 балл

Наливаем в полый медный шар воду, пока она не начинает выливаться из свободной дырки. При этом держим внутренний шар за нитку так, чтобы он не касался воды. Затем медленно опускаем его в воду и измеряем с помощью мензурки объем вылившейся из свободного отверстия воды. Он равен объему внутреннего шарика. Вычитая его из величины суммарного объема и умножая на плотность меди, определяем массу полого шара. - 1 балл

При выполнении второго пункта необходимо убедиться, что до погружения внутренний шарик не касался воды, а также то, что после погружения он полностью находится в воде. Для этого необходимого, чтобы при постепенном опускании шарика вода вначале некоторое время не выливалась (шарик еще не коснулся воды), а затем она перестала выливаться до погружении шарика на дно (шарик полностью погрузился). Попытки смотреть в одну из дырочек не оцениваются (дырочка маленькая, а внутри шара темно и ничего не видно). - 1 балл

Задача 2.

В первом случае, когда вода налита поверх поршня, разность давлений над поршнем и под поршнем равна rgh = 1000 Па. Во втором случае, когда поршень не закреплен, разность давлений под поршнем и над поршнем равна Mg/S = 2000 Па. Поскольку течение воды через отверстие вызывается разностью давлений, во втором случае поток воды будет вдвое больше - 10 мл за каждую секунду. Первоначально объем воды под поршнем равен Sh = 5000 мл, поэтому вся вода протечет сквозь отверстие за 500 с.

Разбалловка.

За вычисление разности давлений во втором случае (Mg/S = 2000 Па) - 1 балл.

За вычисление потока воды во втором случае (10 мл/с) - 1 балл.

За правильный ответ - 1 балл.

Задача 3.

1.5 балла

Проволочка рвется у самого верха. Если снизу ничего не подвешено, она рвется под действием своей массы, которая пропорциональна длине. Если длина веревки один метр, то снизу можно подвесить массу равную 1.8 = 2.8-1 метра веревки. Значит, к метровой веревке массы m можно подвесить груз 1.8m. (только за это 1 балл)

При этом масса веревок пропорциональна их сечению. (только за это 0.5 балла) Могут быть приведены любые эквивалентные утверждения. Например:

Fmax = Sa. P (одно-метровой веревки) = Sb. (P - вес; a, b - некоторые константы). Известно, что Fmax = 2.8P => a = 2.8b. Чтобы метровая веревка не порвалась, снизу можно подвесить Padd = Fmax - P = 1.8 Sb = 1.8 P.

При этом, возможно, что дети не формулируют этих утверждений именно в такой форме. А просто пишут 1.8 · 32 должно быть больше, чем 20+12+8 для того, чтобы при четырех подвешенных веревках, верхняя не порвалась. Обоснование обязательно.

1 балл

Чтобы веревка не порвалась, необходимо, чтобы сумма всех масс подвешенных снизу удовлетворяла полученному выше неравенству. Для определения ответа необходим алгоритм:

1) Подвешиваем первую веревку.

N+1) Подвешиваем N+1 веревку. Считаем нагрузку на каждую из N верхних веревок. Если для одной из них условие разрыва выполняется - это ответ.

Более удобно, при расчете нагрузок, считать массу равной площади сечения. Дети наверняка введут какой-нибудь коэффициент.

0.5 балла

Когда подвешена 6-ая веревка, имеем следующее:

(5,6) Очевидно, не рвутся

(4) 1.8·8>7+7

(3) 1.8·12<8+7+7 РАЗРЫВ

(2) 1.8·20<7+7+8+12

(1) 1.8·32<7+7+8+12+20

Итого порвется 3-я веревка, когда будет подвешена 6-ая.

Задача 4.

График зависимости скорости спортсмена от времени имеет следующий вид:

Полное расстояние, пройденное спортсменом равно площади под графиком, равно VmaxT. Таким образом, T = S/Vmax = (100+5)/10 сек.

Разбалловка

Построение графика V от T. Понимание того, что площадь под ним - это расстояние пройденное бегуном. Понимание того, что график равнобокая трапеция (требовать именно этих слов не нужно, можно показать на отрезки разгона и торможения на графике и спросить, как их длины связаны между собой) - 1 балл

Правильное понимание того, какая часть графика соответствует времени пробега стометровки. Правильное указание на графике Vmax - 1 балл

Вычисление площади под графиком (скорее всего участники сделают это, разбив трапецию на прямоугольник и два треугольника) и получение ответа - 1 балл

Задача 5.

Груз давит на левое плечо первой доски с силой 300 Н. Поскольку правое плечо вдвое короче, на него должна действовать сила 600 Н. Каждый брат давит на доски с суммарной силой 800 Н, поэтому сила, действующая на левое плечо второй доски, равна 200 Н. Далее, силы давления: на правое плечо второй доски - 400 Н, на левое плечо третьей доски - 400 Н, на правое плечо - 800 Н. Таким образом, чтобы сохранять равновесие, третий брат должен полностью перенести свой вес на одну из досок. Следовательно, четвертый брат не сможет удержаться в равновесии. Ответ: 3.

За утверждение, что сила, действующая на правое плечо доски, вдвое больше, чем на левое - 2 балла.

За последовательный расчет сил, действующих на доски - 3 балла (по баллу на каждую доску, при этом необходимо правильно вычислить части массы, перенесенной на ту или иную доску).

За правильный ответ - 1 балл.

Задача 6.

Скорость течения воды никак не входит в решение (для выяснения этого можно задать наводящий вопрос) - 1 балл

Для решения задачи нужно посчитать время плавания катера. Оно состоит из

  • времени движения катера от лайнера до лодки: 75 м / (10 м/с) + 3000 м / (20 м/с) = 157.5 с. (Здесь 10 м/c - это скорость катера относительно лайнера, а 20 м/c - скорость катера относительно лодки. - 1 балл
  • времени стояния около лодки - 60 сек.
  • времени движения обратно; к моменту начала движения расстояние между катером и носом лайнера будет 3000 м - (150+60) c · 10 м/c = 900 м - 1 балл; время 975 м / (30 м/с) = 32.5 с - 1 балл

Расстояние, пройденное лайнером, (157.5+32.5+60) с · 10 м/c = 2500 м - 1 балл

Построение графика: от 0 сек до 157.5 сек - 10 м/с; от 157.5 сек. до 217.5 сек. - (-10 м/c); от 217.5 сек. до 250 сек. - (-30м/c) - 1 балл

Примечание. При построении графика баллы ставятся только в случае правильных знаков скоростей. При другом выборе направления оси знаки будут противоположны приведенным.

Задача 7.

Для начала найдем распределение давления в жидкости по системе:

  • С самого низу - атмосферное давление Р0
  • Над нижним поршнем под действием груза образуется разрежение P0 - mg/S2, удерживающее его, т.к. (P0 - (P0-mg/S/2)) = mg
  • При подъеме в жидкости на высоту h давление понижается на rgh.
  • И, наконец, сверху опять атмосферное давление.

За распределение давлений - 1 балл.

Пусть Dx1, Dx2 - перемещение первого и второго поршня вниз. Но внутренний объем между поршнями должен остаться неизменным. Значит, сколько добавится пространства сверху - столько и убудет снизу: S1Dx1 = S2Dx2 => Dx2 = 9Dx1

Тогда новая высота столба жидкости будет: h = h0 + (Dx2 - Dx1) = h0 + 8Dx1 - 1 балл

Сила упругости пружины должна уравновешивать разницу давлений на верхнем поршне:

kDx1 - 8rgS1Dx1 = 9mg + rgS1h0

- 1 балл,

это можно записать, и не используя соотношения площадей (не обязательно):