Санкт-Петербургские олимпиады по физике

При перемещении системы "поршни-вода" в сторону более узкой трубы расстояние между поршнями должно увеличиваться из-за несжимаемости воды.

Но так как стержень жестко скрепляет поршни, то система не сможет двинуться под действием внешней силы.

Стержень притягивает поршни друг к другу с силой $T$, и этим создает в жидкости давление $p$.

Условие равновесия поршней - равенство нулю равнодействующей силы, действующей на поршни: $$mg + pS_1 = pS_2$$

Или по-другому:
Равнодействующая сила на каждом поршне равна нулю: $$pS_2 - T = 0$$ $$pS_1 + mg - T = 0$$ вычтем уравнения и получим: $$mg + pS_1 = pS_2$$

$$p = \frac{mg}{S_2 - S_1}$$

$$m = \frac{p(S_2 - S_1)}{g}$$

Проверка размерности

Анализ исходного графика $v_x(t)$. $$\Delta x_{1М} = \Delta x_{1П} = 2{,}5~м/с \cdot 60~с = 150~м$$ $$\Delta x_{2М} = 1{,}25~м/с \cdot 120~с = 150~м$$ $$\Delta x_{2П} = 5~м/с \cdot 120~с = 600~м$$ $$\Delta x_{3М} = -1{,}25~м/с \cdot 240~с = -300~м$$ $$\Delta x_{3П} = -3{,}125~м/с \cdot 240~с = -750~м$$

Анализ исходного графика $v_x(t)$. $$\Delta x_{1М} = \Delta x_{1П} = 6~м/с \cdot 60~с = 150~м$$ $$\Delta x_{2М} = 2~м/с \cdot 120~с = 240~м$$ $$\Delta x_{2П} = 7~м/с \cdot 120~с = 840~м$$ $$\Delta x_{3М} = -2~м/с \cdot 300~с = -600~м$$ $$\Delta x_{3П} = -4~м/с \cdot 300~с = -1200~м$$

Координаты Пети и Маши $X(t)$. $$X_{1М} = X_{1П} = 150~м$$ $$X_{2М} = 300~м$$ $$X_{2П} = 750~м$$ $$X_{3М} = X_{3П} = 0~м$$

Координаты Пети и Маши $X(t)$. $$X_{1М} = X_{1П} = 360~м$$ $$X_{2М} = 600~м$$ $$X_{2П} = 1200~м$$ $$X_{3М} = X_{3П} = 0~м$$

Расстояние между Петей и Машей $l(t)$ $$l(0~мин) = 0~м - 0~м = 0~м$$ $$l(1~мин) = 150~м - 150~м = 0~м$$ $$l(3~мин) = 750~м - 300~м = 450~м$$ $$l(7~мин) = 0~м - 0~м = 0~м$$

Расстояние между Петей и Машей $l(t)$ $$l(0~мин) = 0~м - 0~м = 0~м$$ $$l(1~мин) = 360~м - 360~м = 0~м$$ $$l(3~мин) = 1200~м - 600~м = 600~м$$ $$l(8~мин) = 0~м - 0~м = 0~м$$

Условие равновесия в воде $$\left(m_1 g - F_{А1}\right)\frac{l}{2} = \left(m_2 g - F_{А2}\right)\frac{l}{2}$$

Условие равновесия в воздухе $$m_1 g\frac{l}{2} = m_2 g\left(\frac{l}{2} - x\right)$$

Но $F_1 = V_1 g(\rho_1 = \rho_в)$, а $F_2 = V_2 g(\rho_2 - \rho_в)$, и отношение объемов шариков $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho_1 - \rho_в}{\rho_2 - \rho_в}$$

Но $m_1 = \rho_1 V_1$, а $m_2 = \rho_2 V_2$, и отношение объемов шариков $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho_1 \frac{l}{2}}{\rho_2 \left(\frac{l}{2}-x\right)}$$

Условие равновесия в воздухе $$m_1 g\frac{l}{2} = m_2 g\left(\frac{l}{2} - x\right)$$

Условие равновесия в воде $$\left(m_1 g - F_{А1}\right)\frac{l}{2} = \left(m_2 g - F_{А2}\right)\frac{l}{2}$$

Отношение объемов шариков $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho_1\frac{l}{2}}{\rho_2\left(\frac{l}{2}-x\right)}$$

Отношение объемов шариков $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho_1 - \rho_в}{\rho_2 - \rho_в}$$

$$\frac{\rho_1\frac{l}{2}}{\rho_2\left(\frac{l}{2}-x\right)} = \frac{\rho_1 - \rho_в}{\rho_2 - \rho_в}$$

$$\frac{\rho_1\frac{l}{2}}{\rho_2\left(\frac{l}{2}-x\right)} = \frac{\rho_1 - \rho_в}{\rho_2 - \rho_в}$$

$$x = \frac{l}{2} \frac{\rho_в}{\rho_2} \frac{\rho_1-\rho_2}{\rho_1-\rho_в}$$

$$\rho_2 = \frac{l}{2} \frac{\rho_в \rho_1}{\rho_в \left(\frac{l}{2} - x\right) + \rho_1 x}$$

$x$ = 10 см

$\rho_2$ = 2,7 г/см$^3$

Опускание камня на дно аквариума сопровождается переносом вытесненной камнем воды из глубины на поверхность.

После лопания шарика водород выйдет из воды. Всплывание водорода вверх эквивалентно переносу некоторой массы воды с поверхности на дно (на начальное место положения шарика с водородом).

Потенциальная энергия воды увеличится на $\Delta E = \rho_{воды}V_{камня}gh$, где $h$ - изначальный уровень воды в аквариуме.

Потенциальная энергия воды уменьшится на $\Delta E = \rho_{воды}V_{шарика}gh$, где $h$ - изначальный уровень воды в бассейне.

При попадании пули в сугроб кинетическая энергия пули изменяется от $\frac{Mv^2}{2}$ до нуля.

Кинетическая и тепловая энергия пули расходуется на плавление снега $$M\left(\frac{v^2}{2} + c\Delta T\right) = \lambda m$$

Масса образовавшейся воды $$m = \frac{M\left(\frac{v^2}{2} + c\Delta T\right)}{\lambda}$$

Масса пули $$M = \frac{\lambda m}{\frac{v^2}{2} + c\Delta T}$$

Проверка размерности

Масса воды $m$ = 9,5 г.

Масса пули $M$ = 10 г.

Вода несжимаема. Объем пустот в песке равен объему заполняющей их воды.

Наберем полную мензурку воды и полную мензурку песка. Будем наливать воду в мензурку с песком до появления воды на поверхности песка (пока все пустоты не будут заполнены).

Тогда доля пустот в сухом песке равна отношению объема налитой воды к объему мензурки.

Тогда доля собственного объема песчинок в сухом песке равна отношению объема оставшейся в мензурке воды к объему мензурки.

Другое решение:
Сольем часть воды из мензурки, и будем сыпать сухой песок в мензурку с водой до тех пор, пока снова она не станет полной. Тогда доля собственного объема в сухом песке равна отношению объема отлитой воды к объему насыпанного песка.