Санкт-Петербургские олимпиады по физике

В системе отсчета транспортера шайба движется по прямой, под углом 45° к его краю.

Начальная скорость шайбы в системе отсчета транспортера $$v_1 = v\sqrt 2$$

Ускорение шайбы $$a = \frac{F}{m}$$

Путь, который должна пройти шайба, чтобы остановиться, $$l = \frac{v_1^2}{2a} = \frac{mv^2}{F}$$

Максимальный путь шайбы по транспортеру $l_m = H \sqrt 2$.
Шайба переедет транспортер, если $l > l_m$, т.е. $$\frac{mv^2}{F} > H \sqrt 2$$

Ответ: $$H < \frac{mv^2}{F\sqrt 2}$$

Ответ: $$F < \frac{mv^2}{H \sqrt 2}$$

Сила, действующая на шарик, $$F = qE$$

Ускорение шарика $$a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$$

Шарик не ударится о потолок, если $$\frac{v^2}{2a} < H$$ т.е. $$v < \sqrt{\frac{2qEH}{m}}$$

Шарик не ударится о потолок, если $$H > \frac{v^2}{2a}$$ т.е. $$H > \frac{mv^2}{2qE}$$

В этом случае время полета $$t = \frac{2v}{a} = \frac{2mv}{qE}$$

Если шарик ударится в потолок, то $$t = 2\frac{v - \sqrt{v^2 - 2aH}}{a}$$

Максимальное время 1.55 с при скорости 7.75 м/с.

При высоте более 5 м время постоянно и равно 4 с.

Обозначим скорости танков $v_1$, $v_2$, $v_3$, расстояние между военной частью X и городом Y за $L$.

Обозначим скорости братьев $v_1$, $v_2$, $v_3$, расстояние между дворцом и логовом Кощея за $L$.

$$\frac{L}{v_2} - \frac{L}{v_1} = t = 1~ч$$

$$\frac{L}{v_2} - \frac{L}{v_1} = t = 1~ч$$

$$\frac{L}{v_3} - \frac{L}{v_2} = t = 1~ч$$

$$\frac{L}{v_3} - \frac{L}{v_2} = t = 1~ч$$

$$\frac{L}{v_2} - \frac{L}{v_1} = t \quad \Rightarrow$$ $$L = \frac{tv_1 v_2}{v_1 - v_2}$$

$$\frac{L}{v_3} - \frac{L}{v_2} = t \quad \Rightarrow$$ $$L = \frac{tv_2 v_3}{v_2 - v_3}$$

$$\frac{L}{v_3} - \frac{L}{v_2} = t \quad \Rightarrow$$ $$v_3 = \frac{L}{t + \frac{L}{v_2}} = \frac{v_1 v_2}{2v_1 - v_2}$$

$$\frac{L}{v_2} - \frac{L}{v_1} = t \quad \Rightarrow$$ $$v_1 = \frac{L}{\frac{L}{v_2} - t} = \frac{v_2 v_3}{2v_3 - v_2}$$

$v_3$ = 15 км/ч.

$v_1$ = 30 км/ч.

Обозначения:
$I$ - полный ток через схему
$U$ - напряжение на всей схеме
$U_1$ - напряжение на левом элементе
$U_2$ - напряжение на параллельных элементах

Обозначения:
$I$ - полный ток через схему
$U$ - напряжение на всей схеме
$I_1$ - ток через нижний элемент
$I_2$ - ток через последовательно соединенные элементы

Представим, что мы увеличиваем напряжение на схеме, начиная с нуля. При малых напряжениях сопротивления всех элементов - $R$. Поэтому общее сопротивление схемы $\frac{3}{2}R$.
$I(U) = \frac{2}{3}\frac{U}{R}$ (режим 1)

Представим, что мы увеличиваем ток в схеме, начиная с нуля. При малых токах сопротивления всех элементов - $R$. Поэтому общее сопротивление схемы $\frac{2}{3}R$.
$U(I) = \frac{2}{3}IR$ (режим 1)

При этом в силу закона Ома и свойств последовательного соединения напряжение на левом элементе вдвое больше напряжения на двух остальных.
$U_1 = \frac{2}{3}U$ (режим 1)
При общем напряжении $\frac{3}{2}U_{кр}$ напряжение на левом элементе равно $U_{кр}$, и он переходит в режим с сопротивлением $2R$.
Т.е. $U_{1max} = \frac{3}{2}U_{кр}$ - максимальное напряжение первого режима.

При этом в силу закона Ома и свойств параллельного соединения ток через нижний элемент вдвое больше тока через два остальных.
$I_1 = \frac{2}{3}I$ (режим 1)
При общем токе $\frac{3}{2}I_{кр}$ ток через нижний элемент равен $I_{кр}$, и он переходит в режим с сопротивлением $\frac{R}{2}$.
Т.е. $I_{1max} = \frac{3}{2}I_{кр}$ - максимальный ток первого режима.

Важно отметить, что при $U = \frac{3}{2}U_{кр}$ напряжение на параллельных элементах $U_2 = \frac{1}{2}U_{кр} < U_{кр}$, и первым изменит свое состояние левый элемент. После того, как сопротивление левого резистора увеличилось, $U_2$ уменьшится ($U_2 = \frac{1}{4}U_{кр}$), и сопротивление параллельных резисторов останется равным $R$. Если считать, что при переходе во второй режим внешнее напряжение $U = \frac{3}{2}U_{кр}$ не изменилось, то $U_1$ возрастет до $\frac{6}{5}U_{кр}$, т.е после перехода мы попадаем на внутреннюю точку второго режима. И, если мы будем понижать $U$, пока $U_1 > U_{кр}$, мы будем оставаться во втором режиме. Получим: $U_{2min} = \frac{5}{4}U_{кр}$ - минимальное напряжение второго режима.

Важно отметить, что при $I = \frac{3}{2}I_{кр}$ ток на последовательно соединенных элементах $I_2 = \frac{1}{2}I_{кр} < I_{кр}$, и первым изменит свое состояние нижний элемент. После того, как сопротивление нижнего резистора уменьшилось, $I_2$ изменится от $\frac{1}{2}I_{кр}$ до $I_2 = \frac{3}{10}I_{кр}$ (если считать, что полный ток $I$ не изменился), и сопротивление верхних резисторов останется равным $R$. При этом переходе $I_1$ увеличится с $I_{кр}$ до $\frac{6}{5}I_{кр}$, т.е. после перехода мы попадаем на внутреннюю точку второго режима. И, если мы будем понижать $I$, пока $I_1 > I_{кр}$, мы будем оставаться во втором режиме. Получим: $I_{2min} = \frac{5}{4}I_{кр}$ - минимальный ток второго режима.

Т.е. режимы перекрываются, и режим, в котором работает схема, определяется не только мгновенным значением напряжения (тока), а также и всей предысторией работы схемы.

После этого схема эквивалентна резистору $\frac{5}{2}R$.
$I(U) = \frac{2}{5}\frac{U}{R}$ (режим 2)

После этого схема эквивалентна резистору $\frac{2}{5}R$.
$U(I) = \frac{2}{5}IR$ (режим 2)

При этом на параллельно соединенных элементах падает $\frac{1}{5}$ общего напряжения.
$U_2 = \frac{1}{5}U$ (режим 2)
При общем напряжении $5U_{кр}$ падение напряжения на параллельно соединенных элементах равно $U_{кр}$, и они переходят в режим с сопротивлением $2R$.
$U < 5U_{кр}$ (режим 2)
Т.е. $U_{2max} = 5U_{кр}$

При этом через последовательно соединенные элементы идет $\frac{1}{5}$ общего тока.
$I_2 = \frac{1}{5}I$ (режим 2)
При общем токе $5I_{кр}$ ток через последовательно соединенные элементы равен $I_{кр}$, и они переходят в режим с сопротивлением $\frac{R}{2}$.
$I < 5I_{кр}$ (режим 2)
т.е. $I_{2max} = 5I_{кр}$

При переходе из режима 2 в режим 3 напряжение на левом элементе меняется от $4U_{кр}$ до $\frac{10}{3}U_{кр}$, т.е. остается больше, чем критическое, и в процессе перехода сопротивление левого резистора не меняется. Напряжение же на правом элементе повышается с $U_{кр}$ до $\frac{5}{3}U_{кр}$. И аналогично для минимального напряжения третьего режима получим: $U_{3min} = 3U_{кр}$

При переходе из режима 2 в режим 3 ток через нижний элемент меняется от $4I_{кр}$ до $\frac{10}{3}I_{кр}$, т.е. остается большим, чем критический, и в процессе перехода сопротивление нижнего резистора не меняется. Ток же через верхний элемент повышается с $I_{кр}$ до $\frac{5}{3}I_{кр}$. И аналогично для минимального тока третьего режима получим: $I_{3min} = 3I_{кр}$

В третьем режиме схема эквивалентна резистору $3R$.
$I(U) = \frac{1}{3}\frac{U}{R}$ (режим 3)

После этого схема эквивалентна резистору $\frac{R}{3}$.
$U(I) = \frac{1}{3}IR$ (режим 3)

Ответ:
1) $I = \frac{2U}{3R}, \quad U < \frac{3}{2}U_{кр}$
2) $I = \frac{2U}{5R}, \quad \frac{5}{4}U_{кр} < U < 5U_{кр}$
3) $I = \frac{U}{3R}, \quad 3U_{кр} < U$

Ответ:
1) $U = \frac{2}{3}IR, \quad I < \frac{3}{2}I_{кр}$
2) $U = \frac{2}{5}IR, \quad \frac{5}{4}I_{кр} < I < 5I_{кр}$
3) $U = \frac{1}{3}IR, \quad 3I_{кр} < I$

Обозначения:
Поток воды в первой трубе $J_1$, во второй трубе $J_2$.
Полный поток воды, вытекающий из смесителя, $J_{пол} = J_1+J_2$, ее температура $t$.

В смесителе горячая вода отдает часть тепла холодной воде, в результате чего их температуры выравниваются. Из уравнения теплового баланса следует:
$J_1(t_1-t) = J_2(t-t_2)$ или \begin{equation} t = \frac{J_1 t_1 + J_2 t_2}{J_1+J_2} \label{bal} \end{equation} Аналогичное уравнение можно получить исходя из закона сохранения тепловой энергии. $$J_1 t_1 + J_2 t_2 = J_{пол}t$$

Из формулы $\eqref{bal}$ видно, что при пропорциональном увеличении потоков воды в обеих трубах температура вытекающего потока не изменяется. Таким образом, когда вытекает максимальный поток воды с данной температурой, один из кранов открыт полностью. Если открыть оба крана полностью, то пойдет поток воды $2J_0$ температурой $$t_0 = \frac{t_1 + t_2}{2}$$ Чтобы получить максимальный поток воды температуры ниже $t_0$, надо оставить холодный кран полностью открытым, а поток воды из горячего уменьшить; если требуется температура больше $t_0$, то надо, чтобы горячий кран был полностью открыт.

Если холодный кран открыт полностью ($J_1 = J_0$), а поток воды из горячего крана равен $J_2$, то температура вытекающей воды равна $$t = \frac{J_0 t_1 + J_2 t_2}{J_0 + J_2}$$ Отсюда $$J_2 = J_0\frac{t - t_1}{t_2 - t}$$ и суммарный поток воды: $$J_{пол} = J_0 + J_2 = J_0\frac{t_2 - t_1}{t_2 - t} ~при~ t_1 < t < \frac{t_1 + t_2}{2}$$

Если горячий кран открыт полностью ($J_2 = J_0$), а поток воды из холодного крана равен $J_1$, то температура вытекающей воды равна $$t = \frac{J_1 t_1 + J_0 t_2}{J_1 + J_0}$$ Отсюда $$J_1 = J_0\frac{t_2 - t}{t - t_1}$$ и суммарный поток воды: $$J_{пол} = J_0 + J_1 = J_0\frac{t_2 - t_1}{t - t_1} ~при~ t_2 > t > \frac{t_1 + t_2}{2}$$

Итоговый график:

при $t_1 < t < \frac{t_1 + t_2}{2}: J_{пол} = J_0\frac{t_2 - t_1}{t_2 - t}$; при $\frac{t_1 + t_2}{2} < t < t_2: J_{пол} = J_0\frac{t_2 - t_1}{t - t_1}$

Предложения по оценке итогового графика.
На графике должна быть видна следующая информация:
1) График состоит из двух частей, возрастающей и убывающей
2) График построен в диапазоне температур $t_1 < t < t_2$
3) На графике указаны координаты трех угловых точек, а именно:

$t$ = 10°C, $J$ = 1 л/с
$t$ = 30°C, $J$ = 2 л/с
$t$ = 50°C, $J$ = 1 л/с

$t$ = 20°C, $J$ = 1 л/с
$t$ = 32.5°C, $J$ = 2 л/с
$t$ = 45°C, $J$ = 1 л/с