Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Обозначим скорость Зайца за $v$. Перейдем в систему отсчета Зайца, в которой его скорость равна нулю. В такой системе отсчета, в начальный момент времени, Волк находится на расстоянии $L$ от Зайца и движется со скоростью $v$ направленной к Зайцу или от Зайца. После первой встречи с Зайцем, скорость Волка не изменится, а ускорение поменяет знак. Это означает, что через некоторое время Волк снова встретится с Зайцем,

при этом его скорость поменяет свое направление. В дальнейшем ситуация полностью повторяется - Волк пробегает мимо Зайца, через равные промежутки времени $t_2$, каждый раз меняя знак своей скорости.
Пусть скорость Волка в моменты встречи с Зайцем равна $v_0$. Тогда за время $t_2$ между встречами скорость Волка меняется от $v_0$ до $-v_0$.
Тогда мы получим: $-v_0 - v_0 = at_2$ или $v_0 = -\frac{at_2}{2}$

Если $t_1 > \frac{t_2}{2}$, то первоначально Волк находился позади Зайца и двигался по направлению от Зайца (в С.О. Зайца). При этом первый раз Волк догоняет Зайца сзади.

Если $t_1 < \frac{t_2}{2}$, то первоначально Волк находился спереди от Зайца и двигался по направлению к Зайцу (в С.О. Зайца). При этом первый раз Волк приближается к Зайцу спереди.

Далее можно написать уравнение равноускоренного движения Волка. Удобнее выбрать начало отсчета времени ($t$ = 0) в момент первой встречи Зайца с Волком, так как нам известен модуль скорости Волка в этот момент ($|v_0| = \frac{at_2}{2}$). Если выбрать за положительное направление, направление движения Зайца,

то в момент встречи скорость Волка равна $v_0$, а в момент времени $-t_1$ (начало движения) координата Волка равна $-L$. Ускорение Волка с момента начала движения до момента первой встречи равно $a$. В итоге получим $$-L = \frac{at_2}{2}(-t_1)+\frac{at_1^2}{2}$$

то в момент встречи скорость Волка равна $-v_0$, а в момент времени $-t_1$ (начало движения) координата Волка равна $L$. Ускорение Волка с момента начала движения до момента первой встречи равно $-a$. В итоге получим $$L = -\frac{at_2}{2} (-t_1)-\frac{at_1^2}{2}$$

Решая квадратное уравнение, мы получим два решения для $t_1$. Из них надо выбрать то, которое соответствует условию задачи.

Ответ: $$\frac{t_2}{2}+\sqrt{\frac{t_2^2}{4}-2\frac{L}{a}}$$

Ответ: $$\frac{t_2}{2}-\sqrt{\frac{t_2^2}{4}-2\frac{L}{a}}$$

Чтобы определить направление силы трения, необходимо сравнить $a$ и $g\sin\alpha$. Действительно, спроецируем силы, действующие на автомобиль, на ось параллельную дороге и направленную вниз:$$f_{тр}+mg\sin\alpha = ma$$ или $$f_{тр} = ma-mg\sin\alpha$$

$$a < g\sin\alpha$$ Сила трения направлена вниз ($f_{тр} > 0$)

$$a > g\sin\alpha$$ Сила трения направлена вверх ($f_{тр} < 0$)

Спроецируем все силы на ось, перпендикулярную дороге: $$N-mg\cos\alpha = 0$$ Кроме того, $\left|f_{тр}\right| \le \mu N$

$$\mu \ge \frac{\left|f_{тр}\right|}{N} = \frac{|ma-mg\sin\alpha|}{mg\cos\alpha} = \frac{|a-g\sin\alpha|}{g\cos\alpha}$$

Ответ: Сила трения направлена вниз. $$\mu \ge 1 - \frac{1}{5\sqrt 2} \approx 0{,}86$$

Ответ: Сила трения направлена вверх. $$\mu \ge \frac{2}{5\sqrt 3} \approx 0{,}23$$

Будем обозначать индексом "0" величины, которые соответствуют неподвижно стоящему грузчику.

Мощность, развиваемая поездом, равна $W = Fv$, где $F$ - сила тяги поезда, $v$ - его скорость. Движение грузчиков можно представить следующим образом: грузчик разгоняется из состояния покоя, затем он движется с постоянной скоростью, проходя путь $L$, затем останавливается.
Импульс системы "поезд+грузчик" равен $P = P_0+mu$, где $m$ - масса грузчика с грузом, $u$ - его скорость относительно поезда. Видно, что пока скорость грузчика постоянна, добавка к импульсу связанная с движением грузчика не зависит от времени, т.е. сила $F = \frac{\Delta P}{\Delta t} = F_0$. Следовательно, при движении грузчика с постоянной скоростью $W = W_0$. В момент разгона грузчика импульс системы увеличивается на $mu$, а в момент торможения импульс системы уменьшается на $mu$.

В момент разгона (торможения) грузчика сила тяги поезда должна была увеличиться (уменьшиться), так как ускорение поезда постоянно. Пусть $F = F_0+f$. Если разгон длится время $\tau$, дополнительная совершенная работа будет равна $$\Delta A = \tau\Delta W = \tau fv = vp$$ где $p$ - изменение импульса системы, связанное с движением грузчика.

Пусть в момент разгона грузчика скорость поезда была равна $v_1$, а в момент торможения $v_2 > v_1$, тогда полное изменение работы будет равно $$\Delta A_{сум} = v_1 mu - v_2 mu = mu(v_1-v_2) = -muaT = -maX$$ здесь $T$ - время движения грузчика через поезд, а $X$ - его смещение вдоль поезда.

Ответ: $A_1 = A-maL$

Ответ: $A_1 = A+maL$

Обозначения:
$I$ - полный ток через схему
$U$ - напряжение на всей схеме
$U_1$ - напряжение на левом элементе
$U_2$ - напряжение на параллельных элементах

Обозначения:
$I$ - полный ток через схему
$U$ - напряжение на всей схеме
$I_1$ - ток через нижний элемент
$I_2$ - ток через последовательно соединенные элементы

Представим, что мы увеличиваем напряжение на схеме, начиная с нуля. При малых напряжениях сопротивления всех элементов - $R$. Поэтому общее сопротивление схемы $\frac{3}{2}R$.
$I(U) = \frac{2}{3}\frac{U}{R}$ (режим 1)

Представим, что мы увеличиваем ток в схеме, начиная с нуля. При малых токах сопротивления всех элементов - $R$. Поэтому общее сопротивление схемы $\frac{2}{3}R$.
$U(I) = \frac{2}{3}IR$ (режим 1)

При этом в силу закона Ома и свойств последовательного соединения напряжение на левом элементе вдвое больше напряжения на двух остальных.
$U_1 = \frac{2}{3}U$ (режим 1)
При общем напряжении $\frac{3}{2}U_{кр}$ напряжение на левом элементе равно $U_{кр}$, и он переходит в режим с сопротивлением $2R$.
Т.е. $U_{1max} = \frac{3}{2}U_{кр}$ - максимальное напряжение первого режима.

При этом в силу закона Ома и свойств параллельного соединения ток через нижний элемент вдвое больше тока через два остальных.
$I_1 = \frac{2}{3}I$ (режим 1)
При общем токе $\frac{3}{2}I_{кр}$ ток через нижний элемент равен $I_{кр}$, и он переходит в режим с сопротивлением $\frac{R}{2}$.
Т.е. $I_{1max} = \frac{3}{2}I_{кр}$ - максимальный ток первого режима.

Важно отметить, что при $U = \frac{3}{2}U_{кр}$ напряжение на параллельных элементах $U_2 = \frac{1}{2}U_{кр} < U_{кр}$, и первым изменит свое состояние левый элемент. После того, как сопротивление левого резистора увеличилось, $U_2$ уменьшится ($U_2 = \frac{1}{4}U_{кр}$), и сопротивление параллельных резисторов останется равным $R$. Если считать, что при переходе во второй режим внешнее напряжение $U = \frac{3}{2}U_{кр}$ не изменилось, то $U_1$ возрастет до $\frac{6}{5}U_{кр}$, т.е после перехода мы попадаем на внутреннюю точку второго режима. И, если мы будем понижать $U$, пока $U_1 > U_{кр}$, мы будем оставаться во втором режиме. Получим: $U_{2min} = \frac{5}{4}U_{кр}$ - минимальное напряжение второго режима.

Важно отметить, что при $I = \frac{3}{2}I_{кр}$ ток на последовательно соединенных элементах $I_2 = \frac{1}{2}I_{кр} < I_{кр}$, и первым изменит свое состояние нижний элемент. После того, как сопротивление нижнего резистора уменьшилось, $I_2$ изменится от $\frac{1}{2}I_{кр}$ до $I_2 = \frac{3}{10}I_{кр}$ (если считать, что полный ток $I$ не изменился), и сопротивление верхних резисторов останется равным $R$. При этом переходе $I_1$ увеличится с $I_{кр}$ до $\frac{6}{5}I_{кр}$, т.е. после перехода мы попадаем на внутреннюю точку второго режима. И, если мы будем понижать $I$, пока $I_1 > I_{кр}$, мы будем оставаться во втором режиме. Получим: $I_{2min} = \frac{5}{4}I_{кр}$ - минимальный ток второго режима.

Т.е. режимы перекрываются, и режим, в котором работает схема, определяется не только мгновенным значением напряжения (тока), а также и всей предысторией работы схемы.

После этого схема эквивалентна резистору $\frac{5}{2}R$.
$I(U) = \frac{2}{5}\frac{U}{R}$ (режим 2)

После этого схема эквивалентна резистору $\frac{2}{5}R$.
$U(I) = \frac{2}{5}IR$ (режим 2)

При этом на параллельно соединенных элементах падает $\frac{1}{5}$ общего напряжения.
$U_2 = \frac{1}{5}U$ (режим 2)
При общем напряжении $5U_{кр}$ падение напряжения на параллельно соединенных элементах равно $U_{кр}$, и они переходят в режим с сопротивлением $2R$.
$U < 5U_{кр}$ (режим 2)
Т.е. $U_{2max} = 5U_{кр}$

При этом через последовательно соединенные элементы идет $\frac{1}{5}$ общего тока.
$I_2 = \frac{1}{5}I$ (режим 2)
При общем токе $5I_{кр}$ ток через последовательно соединенные элементы равен $I_{кр}$, и они переходят в режим с сопротивлением $\frac{R}{2}$.
$I < 5I_{кр}$ (режим 2)
т.е. $I_{2max} = 5I_{кр}$

При переходе из режима 2 в режим 3 напряжение на левом элементе меняется от $4U_{кр}$ до $\frac{10}{3}U_{кр}$, т.е. остается больше, чем критическое, и в процессе перехода сопротивление левого резистора не меняется. Напряжение же на правом элементе повышается с $U_{кр}$ до $\frac{5}{3}U_{кр}$. И аналогично для минимального напряжения третьего режима получим: $U_{3min} = 3U_{кр}$

При переходе из режима 2 в режим 3 ток через нижний элемент меняется от $4I_{кр}$ до $\frac{10}{3}I_{кр}$, т.е. остается большим, чем критический, и в процессе перехода сопротивление нижнего резистора не меняется. Ток же через верхний элемент повышается с $I_{кр}$ до $\frac{5}{3}I_{кр}$. И аналогично для минимального тока третьего режима получим: $I_{3min} = 3I_{кр}$

В третьем режиме схема эквивалентна резистору $3R$.
$I(U) = \frac{1}{3}\frac{U}{R}$ (режим 3)

После этого схема эквивалентна резистору $\frac{R}{3}$.
$U(I) = \frac{1}{3}IR$ (режим 3)

Ответ:
1) $I = \frac{2U}{3R}, \quad U < \frac{3}{2}U_{кр}$
2) $I = \frac{2U}{5R}, \quad \frac{5}{4}U_{кр} < U < 5U_{кр}$
3) $I = \frac{U}{3R}, \quad 3U_{кр} < U$

Ответ:
1) $U = \frac{2}{3}IR, \quad I < \frac{3}{2}I_{кр}$
2) $U = \frac{2}{5}IR, \quad \frac{5}{4}I_{кр} < I < 5I_{кр}$
3) $U = \frac{1}{3}IR, \quad 3I_{кр} < I$

Обозначения:
Поток воды в первой трубе $J_1$, во второй трубе $J_2$.
Полный поток воды, вытекающий из смесителя, $J_{пол} = J_1+J_2$, ее температура $t$.

В смесителе горячая вода отдает часть тепла холодной воде, в результате чего их температуры выравниваются. Из уравнения теплового баланса следует:
$J_1(t_1-t) = J_2(t-t_2)$ или \begin{equation} t = \frac{J_1 t_1 + J_2 t_2}{J_1+J_2} \label{bal} \end{equation} Аналогичное уравнение можно получить исходя из закона сохранения тепловой энергии. $$J_1 t_1 + J_2 t_2 = J_{пол}t$$

Из формулы $\eqref{bal}$ видно, что при пропорциональном увеличении потоков воды в обеих трубах температура вытекающего потока не изменяется. Таким образом, когда вытекает максимальный поток воды с данной температурой, один из кранов открыт полностью. Если открыть оба крана полностью, то пойдет поток воды $2J_0$ температурой $$t_0 = \frac{t_1 + t_2}{2}$$ Чтобы получить максимальный поток воды температуры ниже $t_0$, надо оставить холодный кран полностью открытым, а поток воды из горячего уменьшить; если требуется температура больше $t_0$, то надо, чтобы горячий кран был полностью открыт.

Если холодный кран открыт полностью ($J_1 = J_0$), а поток воды из горячего крана равен $J_2$, то температура вытекающей воды равна $$t = \frac{J_0 t_1 + J_2 t_2}{J_0 + J_2}$$ Отсюда $$J_2 = J_0\frac{t - t_1}{t_2 - t}$$ и суммарный поток воды: $$J_{пол} = J_0 + J_2 = J_0\frac{t_2 - t_1}{t_2 - t} ~при~ t_1 < t < \frac{t_1 + t_2}{2}$$

Если горячий кран открыт полностью ($J_2 = J_0$), а поток воды из холодного крана равен $J_1$, то температура вытекающей воды равна $$t = \frac{J_1 t_1 + J_0 t_2}{J_1 + J_0}$$ Отсюда $$J_1 = J_0\frac{t_2 - t}{t - t_1}$$ и суммарный поток воды: $$J_{пол} = J_0 + J_1 = J_0\frac{t_2 - t_1}{t - t_1} ~при~ t_2 > t > \frac{t_1 + t_2}{2}$$

Итоговый график:

при $t_1 < t < \frac{t_1 + t_2}{2}: J_{пол} = J_0\frac{t_2 - t_1}{t_2 - t}$; при $\frac{t_1 + t_2}{2} < t < t_2: J_{пол} = J_0\frac{t_2 - t_1}{t - t_1}$

Предложения по оценке итогового графика.
На графике должна быть видна следующая информация:
1) График состоит из двух частей, возрастающей и убывающей
2) График построен в диапазоне температур $t_1 < t < t_2$
3) На графике указаны координаты трех угловых точек, а именно:

$t$ = 10°C, $J$ = 1 л/с
$t$ = 30°C, $J$ = 2 л/с
$t$ = 50°C, $J$ = 1 л/с

$t$ = 20°C, $J$ = 1 л/с
$t$ = 32.5°C, $J$ = 2 л/с
$t$ = 45°C, $J$ = 1 л/с