Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 10 класса (район 2001)

Подробности

Обновлено 03.05.2013 13:16

Решения задач районного тура 2001 года для 10 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5.
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5.

I вариант.

Задача 1

Обозначим
$H$ — высота башни
$V$ — скорость распространения пламени вверх;
тогда скорость распространения пламени вниз будет, по условию, $sV$, $$s = 7.$$

Точки возгорания делят на 3 участка:
нижний, высотой $\frac{H}{10}$, горит со скоростью $V$;
средний, высотой $x$, горит со скоростью $(s+1)V$;
верхний, высотой $\frac{9H}{10}-x$, горит со скоростью $sV$. 1 балл

Очевидно, время полного сгорания башни - максимальное из времен сгорания каждого куска.
С увеличением среднего участка башни в два раза
a)время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка увеличится в 2 раза
c)время горения верхнего участка уменьшится.1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел средний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех также горит средний участок, причем время горения должно увеличится в 2 раза. По условию задачи видим, что это не так.1 балл

С уменьшением среднего участка башни в два раза
a)время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка уменьшится в 2 раза
c)время горения верхнего участка увеличится.1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел верхний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $\frac{x}{2}$ дольше всех также горит верхний участок, и время сгорания башни увеличится. По условию задачи видим, что это не так.1 балл

Итак, при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел нижний участок, и для времени его сгорания справедливо $$\frac{H/10}{V} = t_1 = 60\mbox{ ч}. \quad\mathbf{1.5~балла}$$

При расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех горит средний участок (если бы дольше горел по-прежнему нижний участок, время сгорания бы не изменилось), поэтому для времени сгорания справедливo $$\frac{2x}{(s+1)V} = t_2 = 61\mbox{ ч}. \quad\mathbf{1.5~балла}$$

Исключая из уравнений $V$, найдем $$H = 541\mbox{ м}. \quad\mathbf{2~балла}$$

Задача 2

Сначала следует определить, с какой силой тормозная система действует на трос. Из правила рычага получаем: $$F_1 = \frac{r_2}{r_1} \mu F \quad\mathbf{2~балла}$$

Определяем, какое ускорение может сообщить человеку тормозная система. $$a = \frac{\mu F r_2}{r_1 m} - g \quad\mathbf{2~балла}$$

За время падения $T$ человек проходит $$\mbox{путь } h_1=\frac{gT^2}{2}\mbox{ и получает скорость } gT. \quad\mathbf{2~балла}$$

Для равноускоренного движения с нулевой начальной или конечной скоростью действует формула $\frac{v^2}{2·\mbox{Ускорение}}=\mbox{Путь}$. Рассматривая отрезок в процессе движения человека после включения тормозов, получим: $$h_2 = \frac{g^2 T^2}{2a} \quad\mathbf{2~балла}$$

Где $h_2$ — высота начала торможения. Далее, преобразовывая, получим ответ. $$H=h_1+h_2$$ $$H = \frac{gT^2}{2} \frac{1}{1 - \frac{mg}{\mu F \frac{r_2}{r_1}}} \quad\mathbf{2~балла}$$

Задача 3

При низкой температуре весь аргон сжижается и лежит на дне. При этом $F_0$ есть вес аргона. $$m = \frac{F_0}{g} \quad\mathbf{5~баллов}$$ Для конечного состояния получим $$pV = \frac{F_0}{g\mu}RT \quad\mathbf{2~балла}$$ Сила, действующая на верхнюю грань, равна $$F = V^{2/3}p \quad\mathbf{1~балл}$$ Комбинируя, получим ответ $$F = \frac{F_0}{g\mu}\frac{RT}{\sqrt[3]{V}} \quad\mathbf{2~балла}$$

Задача 4

Масса газа во втором сосуде в два раза больше, чем в первом. 3 балла
Его теплоемкость тоже в два раза больше. 2 балла
Изменение его температуры в два раза меньше. 2 балла $$2(T_2-T_0) = T_1-T_0 \quad\mathbf{1~балл}$$ $$T_0 = 200\mbox{ K} \quad\mathbf{2~балла}$$

Задача 5

Проволоки различаются двумя параметрами $L$, $S$. $$C \sim LS \quad\mathbf{2~балла}$$ Удлинение пропорционально $$l \sim \frac{mg}{k}$$ $$k \sim \frac{S}{L}$$ $$l \sim L^2 \quad\mathbf{4~балла}$$ $k$ — коэффициент Гука для проволоки. Электрическое сопротивление $R$ $$R \sim \frac{L}{S}\mbox{ или }R \sim \frac{l}{C} \quad\mathbf{2~балла}$$ Откуда получаем: сопротивление первой проволоки в $n$ раз больше, чем второй. 2 балла

II вариант.

Задача 1

Обозначим
$H$ — высота башни
$V$ — скорость распространения пламени вверх;
тогда скорость распространения пламени вниз будет, по условию, $sV$, $$s = 5.$$

Точки возгорания делят на 3 участка:
нижний, высотой $\frac{27H}{200}$, горит со скоростью $V$;
средний, высотой $x$, горит со скоростью $(s+1)V$;
верхний, высотой $\left(1-\frac{27}{200}\right)H - x$, горит со скоростью $sV$. 1 балл

Очевидно, время полного сгорания башни — максимальное из времен cгорания каждого куска.

С увеличением среднего участка башни в два раза
a)время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка увеличится в 2 раза
c)время горения верхнего участка уменьшится. 1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел средний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех также горит средний участок, причем время горения должно увеличиться в 2 раза. По условию задачи видим, что это не так. 1 балл

С уменьшением среднего участка башни в два раза
a)время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка уменьшится в 2 раза
c)время горения верхнего участка увеличится. 1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел верхний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $\frac{x}{2}$ дольше всех также горит верхний участок, и время сгорания башни увеличится. По условию задачи видим, что это не так. 1 балл

Итак, при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел нижний участок, и для времени его сгорания справедливо $$\frac{27H/200}{V} = t_1 = 79,5\mbox{ ч} \quad\mathbf{1.5~балла}$$

При расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех горит средний участок (если бы дольше горел по прежнему нижний участок, время сгорания бы не изменилось), поэтому для времени сгорания справедливо $$\frac{2x}{(s+1)V} = t_2 = 80\mbox{ ч}. \quad\mathbf{1.5~балла}$$

Исключая из уравнений $V$, найдем $$H = 540\mbox{ м}. \quad\mathbf{2~балла}$$

Задача 2

Сначала следует определить, с какой силой тормозная система действует на трос. Из правила рычага получаем: $$F_1 = \frac{r_2}{r_1} \mu F \quad\mathbf{2~балла}$$ Определяем, какое ускорение может сообщить человеку тормозная система. $$a = \frac{\mu F r_2}{r_1 m} - g \quad\mathbf{2~балла}$$ Для равноускоренного движения с нулевой начальной или конечной скоростью действует формула $v^2 = 2 \cdot\mbox{Ускорение}\cdot\mbox{Путь}$. Рассматривая два отрезка в процессе движения человека — до включения тормозов и после,— получим: $$g(H-h) = ah \quad\mathbf{3~балла}$$ Где $h$ — высота начала торможения. Далее, преобразовывая, получим ответ. $$h=\frac{Hg}{a+g} \quad\mathbf{1~балл}$$ $$h = \frac{Hmgr_1}{\mu Fr_2} \quad\mathbf{2~балла}$$ Возможно также решение, исходящее из закона сохранения энергии.

Задача 3

При низкой температуре весь аргон сжижается и лежит на дне. При этом $p_0 a^2$ есть вес аргона. $$m = \frac{p_0 a^2}{g} \quad\mathbf{5~баллов}$$ Для конечного состояния получим $$p_1 a^3 = \frac{p_0 a^2}{g\mu}RT \quad\mathbf{2~балла}$$ Комбинируя, получим ответ $$a = \frac{p_0}{p_1} \frac{RT}{\mu g} \quad\mathbf{3~балла}$$

Задача 4

Масса газа во втором сосуде в два раза меньше, чем в первом. 3 балла
Его теплоемкость тоже в два раза меньше. 2 балла
Изменение его температуры в два раза больше. 2 балла $$2(T_0-T_1) = T_0-T_2 \quad\mathbf{1~балл}$$ $$T_0=500\mbox{ K} \quad\mathbf{2~балла}$$

Задача 5

Проволоки различаются двумя параметрами $L$, $S$. $$m \sim LS \quad\mathbf{2~балла}$$ Удлинение пропорционально начальной длине и изменению температуры. Однако массы, а следовательно и теплоемкости, одинаковы, поэтому изменение температуры будет одинаковым. 2 балла $$l \sim L \quad\mathbf{2~балла}$$ Коэффициент Гука для проволоки $$k \sim \frac{S}{L}\mbox{ или }k \sim \frac{m}{l^2} \quad\mathbf{2~балла}$$ Откуда получаем: коэффициент упругости первой проволоки в $n^2$ раз меньше, чем второй. 2 балла