Решения 9 класса (район 2000)
- Подробности
- Обновлено 02.05.2013 12:38
Решения задач районного тура олимпиады 2000 года для 9 класса (кроме задачи 5).
| 1 вариант | 2 вариант | Баллы |
|---|---|---|
| Задача 1 | ||
| Мысль о том, что проекция скорости шайбы на ось, направленную вдоль борта остается неизменной, так как в этом направлении на нее не действуют никакие силы. | 1 | |
| Понимание того, что, чтобы шайба вернулась к хоккеисту, скорость хоккеиста должна быть равна этой проекции скорости шайбы. | 1 | |
| $$Ox: V = u\cos\alpha$$ | 1 | |
| $$u = \frac{V}{\cos\alpha}$$ | $$\cos\alpha = \frac{V}{u}$$ | 1 |
| Задача 2 | ||
| Отрываясь от нулевой ступеньки, шайба начинает двигаться по параболической траектории. | 1 | |
| $$Ox: S = vt$$ $$Oy: H = \frac{gt^2}{2}$$ | 1 | |
| На уровне $n$-ой ступеньки (по вертикали) шайба окажется через время $$T=\sqrt{\frac{2nh}{g}}$$ | 1 | |
| За это время ее горизонтальное смещение составит $$S_n = vT = v\sqrt{\frac{2nh}{g}}$$ | 1 | |
| Шайба не упадет на ступеньку $n$, а будет продолжать свое движение до тех пор, пока будет выполняться неравенство $S_n > nl$ | 1 | |
| $$v\sqrt{\frac{2nh}{g}} > nl$$ $$n < \frac{2v^2 h}{gl^2}$$ | 1 | |
| Первое $n$, при котором это неравенство нарушится, и будет ответом: $$n_0 = \left[ \frac{2v^2 h}{gl^2} \right] +1$$ | 1 | |
| Ответ: $n_0$ = 97 | Ответ: $n_0$ = 401 | 1 |
| Задача 3 | ||
| Понимание того, что, так как платформа движется, снаряд будет лететь по параболической траектории, как тело брошенное под углом к горизонту. | 1 | |
| \begin{equation} Ox: L = ut \label{u1} \end{equation} $$Oy: 0 = v_0 t - \frac{gt^2}{2},$$ где $L$ — искомое расстояние; $t$ — время полета снаряда | 1 | |
| \begin{equation} t = \frac{2v_0}{g} \label{u2} \end{equation} | 1 | |
| Так как платформа после выстрела начинает двигаться равноускоренно, то ее скорость описывается следующим уравнением: | ||
| $$2u = u + at$$ | $$\frac{u}{2} = u - at$$ | 1 |
| \begin{equation} u = at \label{u3} \end{equation} | \begin{equation} u = 2at \label{u3a} \end{equation} | 1 |
| Подставим значение скорости из уравнения \ref{u3} или \ref{u3a} и времени из уравнения \ref{u2} в уравнение \ref{u1} и получим окончательный ответ: | ||
| Ответ: $L = 4\frac{av_0^2}{g^2}$ | Ответ: $L = 16\frac{av_0^2}{g^2}$ | 1 |
| Задача 4 | ||
| Сила, которая может выдернуть пробку, появится в тот момент, когда нить натянется. В это время на пробку действуют две силы: сила натяжения нити и сила давления воды. Достаточным условием для выдергивания пробки является равенство этих сил: $$\vec{T} + \vec{F}_д = 0$$ | ||
| Сила давления линейно зависит от высоты столба воды и от площади пробки: $$F_д = S\rho gH.$$ | ||
| Cила $T$ определяется из уравнения сил действующих на брусок: $$\vec{T} + \vec{F}_A + m\vec{g} = 0$$ | ||
| $$Ox: T - F_A + mg = 0$$ | ||
| Значение архимедовой силы определяется глубиной погружения бруска в воду: $$F = a^2\rho gh$$ | ||
| Таким образом, $$T = a^2\rho gh - a^3\rho_б g$$ | ||
| Следовательно, условие выдергивания пробки следующее: $$S\rho gH = a^2\rho gh - a^3\rho_б g$$ | ||
| Нас интересует случай, когда архимедова сила максимальна: $$S\rho g(L + a) = a^3\rho g - a^3\rho_б g$$ | ||
| $$\rho_б = \rho\frac{a^3 - S(L + a)}{a^3}$$ | $$a = \frac{S\rho L}{\rho - \rho_б}$$ | 4 |