Решения 7 класса (город 2007)
- Подробности
- Обновлено 29.03.2013 21:54
Решения задач городского тура 2007 года для 7 класса.
Задача 1.
Заметим, что в равновесии на блок в точке C действует сила, момент которой компенсирует момент силы F. Очевидно, что на рычаг действует эта же сила, направленная противоположно. Обозначим её F1. Запишем правило моментов:
F1|CO| = FR ⇒ F1 = 3F = 30 Н.
Момент силы F1, в свою очередь, компенсируется моментом искомой силы F0. Запишем правило рычага относительно точки B:
F0|AB| = F1|BC|.
Отсюда F0 = 2F1 = 60 Н.
Задача 2.
Для начала заметим, что если поезд преодолевает всю ветку в прямом и обратном направлении за время T0, а интервал между двумя последовательными поездами на одной станции составляет t0, то Nt0 = T0, где N — число поездов на линии. t0 в задаче остаётся постоянным, следовательно, нужно вычислить T0 до введения новой станции и после.
До введения новой станции поезд на прохождение ветки в одну сторону тратит время, которое складывается из времени, затраченного на прохождение расстояния между станциями и времени, которое поезд проводит на каждой станции: T = 9 · 3 мин + 9 · 3 мин = 54 мин. Очевидно, что на обратный путь поезд тратит то же самое время, так что в этом случае T0 = 2T = 108 мин.
После введения новой станции поезд тратит 6 минуты на то, чтобы добраться до неё, ещё 3 минуты на остановку на ней, следовательно, T' = 63 мин, а T'0 = 2T' = 126 мин. Получаем, что новое число поездов равно
N' = NT'0/T0 = 21.
Таким образом, нужно ввести n = 21 − 18 = 3 дополнительных поезда.
Задача 3.
Пусть объём погруженного кусочка льда с пулей равен Vx. Чтобы объём не менялся, необходимо, чтобы растаявший лёд занимал объем Vx−V, то есть, чтобы ρводы(Vx − V) = ρльда (V0 − V) (в этом случае давление на дно сосуда не будет меняться, что и означает, что уровень воды не изменится). Отсюда
Рассмотрим теперь все силы, действующие на эту систему. Во-первых, это подъёмная сила шарика, равная разности силы Архимеда и силы тяжести шарика:
Fпод. = F1арх. − mg = ρвозд.V1g − ρгел.V1g = (ρвозд. − ρгел.)V1g.
Во-вторых, это силы тяжести пули и льда соответственно: ρсвинцаVg, ρльда(V0 − V)g. Кроме того, на погруженную часть льда с пулей действует сила Архимеда: ρводыVxg. Таким образом, условие равновесия выглядит так:
ρводыVxg + (ρвозд. − ρгел.)V1g = ρльда(V0 − V)g + ρсвинцаVg.
Подставляя Vx в это уравнение, получаем для V1: 
≈ 9360 см3.
Задача 4.
Запишем условия равновесия доски до подвешивания груза. Очевидно, что mg = T1 + T2. Из условия равенства плеч сил T1 и T2 относительно центра масс доски получаем, что T1 = T2. Рассматривая равновесие пружины, получаем также, что T1 = kΔx1, где Δx1 — удлинение пружины. Отсюда имеем: kΔx1 = mg/2 = 5 Н.
Теперь рассмотрим ситуацию с подвешенным грузом. В этом случае получаем:
Mg + mg = T1 + T2.
Записывая правило рычага относительно центра масс доски, имеем:
T1 − Mg = T2.
Из условия равновесия пружины получаем:
T1 = kΔx2 = 2kΔx1 = mg = 10 Н.
Из этих трёх уравнений находим, что M = m/2 = 0.5 кг.
Задача 5.
Пусть Δx1 — расстояние, на которое сместился центр колеса в результате сжатия, Δx2 — сжатие пружины. Заметим, что пружина и колесо соединены так, что Δx1 + Δx2 = L.
Силы, действующие на пружину и колесо одинаковы и равны Mg:
Mg = F(Δx1), Mg = kΔx2,
где F(x) — зависимость силы упругости колеса от удлинения, данная на графике.
Из этих уравнений получаем k(L − Δx1) = F(Δx1).
Используя это соотношение и график F(x), мы можем найти F(Δx1). Действительно, для этого достаточно на графике F(x) провести прямую, задаваемую уравнением F = k(L − Δx1), и ордината точки пересечения этой прямой с графиком F(x) и даст нам F(Δx1).
Проделывая всё это, получаем, что F(Δx1) ≈ 4 Н. Отсюда искомая масса M равна
M = F(Δx1)/g = 0.4 кг.
Задача 6.
Построим сначала график зависимости координаты нарушителя от времени — это можно сделать, так как у нас есть график vx(t). В начальный момент времени координата нарушителя равна 0, так что график начнётся из начала координат.
За первые 36 с нарушитель проезжает 360 м со скоростью 10 м/с. Далее скорость меняется и становится равной 17.5 м/с в течение последующих 24 с, таким образом, машина проходит еще 420 м. В следующие 24 с нарушитель движется со скоростью 7.5 м/с, и машина проходит следующие 180 м. Далее проекция скорости становится отрицательной, это означает, что нарушитель начал двигаться в обратную сторону, следовательно, координата уменьшается. 36 с он двигается со скоростью 5 м/с, и приближается к началу координат на 180 м. Ещё 12 с он движется со скоростью 10 м/с, и приближается к началу координат ещё на 120 м. Далее нарушитель опять меняет направление движения, и следующие 24 с двигается со скоростью 17.5 м/с, проходя таким образом 420 м.
Теперь поймём, как меняется координата автоинспектора от времени. Как известно, расстояние между двумя точками определяется так: l12 = |x2 − x1|. Предположим, что в начальный момент времени автоинспектор находился в точке с координатой x = −1.2 км. Таким образом, сразу можно написать, что x1(t) = x2(t) − l12(t). Поэтому достаточно вычесть один график из другого. При этом получится следующий результат (см. рис. 5а):
Однако, возможна и другая ситуация, когда автоинспектор находится в точке x = 1.2 км. В этом случае, очевидно, l12 = x1 − x2, откуда x1(t) = l12(t) + x2(t), то есть, ответ получится сложением двух графиков (рис. 5б).
Задача 7.
Сначала найдём глубину погружения поплавка H, при которой происходит отрыв пробки. Рассмотрим силы, действующие на пробку. Это сила тяжести Mg, сила давления на клапан, равная ρg(H + L)S1, и сила Архимеда, действующая на поплавок ρgHS. Условие отрыва запишется так: Mg + ρg(H + L)S1 = ρgHS, отсюда получаем
Теперь найдем глубину погружения поплавка h, при которой пробка прилипает обратно к баку. В этом случае под клапаном будет вода, а так как он имеет пренебрежимо малый объём, то сила Архимеда на него действовать не будет. Таким образом, на пробку будут действовать сила тяжести (по-прежнему Mg) и сила Архимеда, действующая на поплавок — ρgSh. Условие на h в этом случае пишется так: ρgSh = Mg, отсюда
h = Mg/ρgS
Когда глубина погружения поплавка меняется с H до h, объём воды в сосуде изменяется на величину V = (H − h)(S0 − S). Так как сосуд наполняется со скоростью v, то на такое изменение объёма требуется время t = V/v. Подставляя выражения для H и h, получаем ответ:
= 6 с.