Решения 9 класса (район 2004)

Решения задач районного тура 2004 года для 9 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Вода будет перетекать в направлении того сосуда, в котором давление на уровне отверстия меньше.

Рассмотрим условия равновесия сосудов. Каждый сосуд, рассматриваемый отдельно от находящейся в нем воды, находится в равновесии под действием сил тяжести, давления воды (на дно сверху) и давления воздуха (на дно снизу):

mg + pS = paS,

где m - масса сосуда, p - давление воды на уровне дна, pa - атмосферное давление, S - площадь дна.

Поэтому давление на уровне дна в сосудах одинаково. Поскольку расстояние от отверстия до дна больше в том сосуде, в который налито больше воды, в нем давление на уровне отверстия будет меньше, и вода потечет в его сторону.

Разбалловка

Вода потечет в сторону того сосуда, в котором меньше давление на уровне отверстия 3 балла
Давление на уровне дна одинаково (или: давление на уровне поршня больше в левом сосуде) 4 балла
Давление на уровне отверстия больше в левом сосуде 2 балла
Ответ: потечет направо 1 балл

Задача 2.

Обозначим скорость Кузьмы v, ускорение Матвея a, радиус окружности R, время между встречами t.

Кузьма преодолел расстояние vt = pR, а Матвей vt + at2/2 = 2R. Выражая время из первого равенства и подставляя во второе, получаем pR + ap2R2/2v2 = 2R, или a = 2(2-p)v2/p2R < 0, то есть Матвей двигался равнозамедленно. Поскольку ускорение Кузьмы равно v2/R, искомое отношение есть p2/2(p-2) ≈ 4.32

Разбалловка

vt = pR 2 балла
vt + at2/2 = 2R (или vt - at2/2 = 2R) 2 балла
a = 2(2-p)v2/p2R 2 балла
aцс = v2/R 2 балла
Ответ: p2/2(p-2) или 4.32 2 балла
(за ответ с неправильным знаком - 1 балл)

Задача 3.

При опускании льда в доверху наполненный сосуд часть воды выльется. Поскольку этот процесс происходит гораздо быстрее теплообмена и связанного с ним таяния льда, будем считать, что вытекающая вода имеет температуру t1. По закону Архимеда масса вытесненной воды равна m. Таким образом, в сосуде находится лед массой m (начальная температура t0) и вода массой M-m (начальная температура t1). Уравнение теплового баланса:

c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0),

где t - искомая температура.

Отсюда t = (c(M-m)t1 - lm + cmt0)/(cM) = 0.7 °C

Разбалловка

Вода выливается 2 балла
Масса вылившейся воды равна m (2.1 кг) 3 балла
(2 балла за rgV = mg и 1 балл за Dm = rV)
c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0) или то же в числах 3 балла
(эти 3 балла также ставятся за формулу cM(t1-t) = lm + cm(t-t0) тем, кто не догадался, что вода выливается)
t = (c(M-m)t1 - lm + cmt0)/(cM) 1 балл
Ответ: 0.7 °C 1 балл
(если все считалось в числах и получен правильный ответ, балл за итоговую формулу также ставится)

Задача 4.

Обозначим толщину пластинки h, а ее площадь S. Масса пластинки равна rSh. На пластинку действуют сила тяжести Fт = rShg, сила давления Fд = SDp и сила реакции оси N. Разложим силу тяжести на две компоненты: параллельную и перпендикулярную пластинке. Параллельная пластинке проекция не может привести к повороту пластинки, поэтому ее рассматривать не будем. Теперь понятно, что для того, чтобы пластинка находилась в равновесии, сумма проекций сил тяжести и давления на ось, перпендикулярную пластинке, должна быть равна нулю: Fтsina = Fд. (Заодно получилось, что сила N направлена вдоль пластинки.) Отсюда rShgsina = SDp, и ответ: h = Dp/(rgsina). Тот же результат можно получить, приравнивая моменты сил тяжести и давления.

Разбалловка

m = rSh 1 балл
Fт = rShg 1 балл
Fд = SDp 2 балла
Fтsina = Fд (или правило моментов) 4 балла
Oтвет: Dp/(rgsina) 2 балла

Задача 5.

Поскольку до замыкания ключа сила тока через все резисторы одинакова, сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны.

Мощности, выделяющиеся на резисторах: P1 = I2R1, P2 = I2R2

Напряжения на них: U1 = IR1, U2 = IR2

При этом суммарное напряжение равно U: U = U1+U2

Отсюда ток I = (I2R1+I2R2)/(IR1+IR2) = (P1+P2)/U = 0.75 А

Сопротивления резисторов R1 = P1/I2 = P1U2/(P1+P2)2 ≈ 178 Ом, R2 = P2U2/(P1+P2)2 ≈ 89 Ом

После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы и равны U/2.

Выделяющиеся мощности:

P1' = (U/2)2/R1 = (P1+P2)2/4P1 = 56.25 Вт, P2' = (P1+P2)2/4P2 = 112.5 Вт

Разбалловка

Сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны 1 балл
Нахождение сопротивлений из первой схемы - 5 баллов:
P1 = I2R1, P2 = I2R2 1 балл
U1 = IR1, U2 = IR2 1 балл
U = U1+U2 1 балл
I = (P1+P2)/U 1 балл
R1 = P1U2/(P1+P2)2, R2 = P2U2/(P1+P2)2 1 балл
После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы и равны U/2 2 балла
P1' = (P1+P2)2/4P1, P2' = (P1+P2)2/4P2 1 балл
Ответ: 56.25 Вт и 112.5 Вт 1 балл

II вариант

Задача 1.

Вода будет перетекать в направлении того сосуда, в котором давление на уровне отверстия меньше.

Рассмотрим условия равновесия сосудов. Каждый сосуд, рассматриваемый отдельно от находящейся в нем воды, находится в равновесии под действием сил тяжести, давления воды (на дно сверху) и давления воздуха (на дно снизу):

mg + pS = paS,

где m - масса сосуда, p - давление воды на уровне дна, pa - атмосферное давление, S - площадь дна.

Поэтому давление на уровне дна меньше в более тяжелом сосуде. Следовательно, давление на уровне отверстия меньше также в более тяжелом сосуде, и вода потечет в его сторону.

Разбалловка

Вода потечет в сторону того сосуда, в котором меньше давление на уровне отверстия 3 балла
Давление на уровне дна (или на уровне поршня) больше в правом сосуде 4 балла
Давление на уровне отверстия больше в правом сосуде 2 балла
Ответ: потечет налево 1 балл

Задача 2.

Обозначим скорость Макара v, ускорение Трофима a, радиус окружности R, время между встречами t.

Макар преодолел расстояние vt = pR, а Трофим at2/2 = 2R. Выражая время из первого равенства и подставляя во второе, получаем ap2R2/2v2 = 2R, или a = 4v2/p2R. Поскольку ускорение Макара равно v2/R, искомое отношение есть p2/4 ≈ 2.47

Разбалловка

vt = pR 2 балла
at2/2 = 2R 2 балла
a = 4v2/p2R 2 балла
aцс = v2/R 2 балла
Ответ: p2/4 или 2.47 2 балла

Задача 3.

При опускании льда в доверху наполненный сосуд часть воды выльется. Поскольку этот процесс происходит гораздо быстрее теплообмена и связанного с ним таяния льда, будем считать, что вытекающая вода имеет температуру t1. По закону Архимеда масса вытесненной воды равна массе льда - обозначим ее m. Таким образом, в сосуде находится лед массой m (начальная температура t0) и вода массой M-m (начальная температура t1). Уравнение теплового баланса:

c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0),

где t - искомая температура.

Отсюда m = cM(t1-t) / (c(t1-t0)+l) ≈ 0.81 кг

Разбалловка

Вода выливается 2 балла
Масса вылившейся воды равна m 3 балла
(2 балла за rgV = mg и 1 балл за Dm = rV)
c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0) или то же в числах 3 балла
(эти 3 балла также ставятся за формулу cM(t1-t) = lm + cm(t-t0) тем, кто не догадался, что вода выливается)
m = cM(t1-t) / (c(t1-t0)+l) 1 балл
Ответ: 0.81 кг 1 балл
(если все считалось в числах и получен правильный ответ, балл за итоговую формулу также ставится)

Задача 4.

Обозначим плотность пластинки r, а ее площадь S. Масса пластинки равна rSh. На пластинку действуют сила тяжести Fт = rShg, сила давления Fд = SDp и сила реакции оси N. Разложим силу тяжести на две компоненты: параллельную и перпендикулярную пластинке. Параллельная пластинке проекция не может привести к повороту пластинки, поэтому ее рассматривать не будем. Теперь понятно, что для того, чтобы пластинка находилась в равновесии, сумма проекций сил тяжести и давления на ось, перпендикулярную пластинке, должна быть равна нулю: Fтsina = Fд. (Заодно получилось, что сила N направлена вдоль пластинки.) Отсюда rShgsina = SDp, и ответ: r = Dp/(ghsina). Тот же результат можно получить, приравнивая моменты сил тяжести и давления.

Разбалловка

m = rSh 1 балл
Fт = rShg 1 балл
Fд = SDp 2 балла
Fтsina = Fд (или правило моментов) 4 балла
Oтвет: Dp/(ghsina) 2 балла

Задача 5.

Поскольку до замыкания ключа сила тока через все резисторы одинакова и равна I/2, сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны.

Мощности, выделяющиеся на резисторах: P1 = I2R1/4, P2 = I2R2/4

Сопротивления резисторов R1 = 4P1/I2 = 32 Ом, R2 = 4P2/I2 = 128 Ом

После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы.

Определим токи через них: I1R1 = I2R2, I1+I2 = I, поскольку ток через амперметр разделяется между резисторами.

Поэтому I1 = IR2/(R1+R2) = IP2/(P1+P2) = 2 А, I2 = IP1/(P1+P2) = 0.5 А

Выделяющиеся мощности:

P1' = I12R1 = 4P1P22/(P1+P2) = 128 Вт, P2' = 4P12P2/(P1+P2) = 32 Вт

Разбалловка

Сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны 1 балл
До замыкания ключа сила тока через все резисторы одинакова и равна I/2 1 балл
P1 = I2R1/4, P2 = I2R2/4 1 балл
R1 = 4P1/I2, R2 = 4P2/I2 1 балл
После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы 1 балл
I1R1 = I2R2 1 балл
I1+I2 = I 1 балл
I1 = IP2/(P1+P2), I2 = IP1/(P1+P2) 1 балл
P1' = 4P1P22/(P1+P2), P2' = 4P12P2/(P1+P2) 1 балл
Ответ: 128 Вт и 32 Вт 1 балл