Решения 9 класса (район 2004)
- Подробности
- Обновлено 31.03.2013 11:59
Решения задач районного тура 2004 года для 9 класса.
1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
I вариант
Задача 1.
Вода будет перетекать в направлении того сосуда, в котором давление на уровне отверстия меньше.
Рассмотрим условия равновесия сосудов. Каждый сосуд, рассматриваемый отдельно от находящейся в нем воды, находится в равновесии под действием сил тяжести, давления воды (на дно сверху) и давления воздуха (на дно снизу):
mg + pS = paS,
где m - масса сосуда, p - давление воды на уровне дна, pa - атмосферное давление, S - площадь дна.
Поэтому давление на уровне дна в сосудах одинаково. Поскольку расстояние от отверстия до дна больше в том сосуде, в который налито больше воды, в нем давление на уровне отверстия будет меньше, и вода потечет в его сторону.
Разбалловка
Вода потечет в сторону того сосуда, в котором меньше давление на уровне отверстия | 3 балла |
---|---|
Давление на уровне дна одинаково (или: давление на уровне поршня больше в левом сосуде) | 4 балла |
Давление на уровне отверстия больше в левом сосуде | 2 балла |
Ответ: потечет направо | 1 балл |
Задача 2.
Обозначим скорость Кузьмы v, ускорение Матвея a, радиус окружности R, время между встречами t.
Кузьма преодолел расстояние vt = pR, а Матвей vt + at2/2 = 2R. Выражая время из первого равенства и подставляя во второе, получаем pR + ap2R2/2v2 = 2R, или a = 2(2-p)v2/p2R < 0, то есть Матвей двигался равнозамедленно. Поскольку ускорение Кузьмы равно v2/R, искомое отношение есть p2/2(p-2) ≈ 4.32
Разбалловка
vt = pR | 2 балла |
---|---|
vt + at2/2 = 2R (или vt - at2/2 = 2R) | 2 балла |
a = 2(2-p)v2/p2R | 2 балла |
aцс = v2/R | 2 балла |
Ответ: p2/2(p-2) или 4.32 | 2 балла |
(за ответ с неправильным знаком - 1 балл) |
Задача 3.
При опускании льда в доверху наполненный сосуд часть воды выльется. Поскольку этот процесс происходит гораздо быстрее теплообмена и связанного с ним таяния льда, будем считать, что вытекающая вода имеет температуру t1. По закону Архимеда масса вытесненной воды равна m. Таким образом, в сосуде находится лед массой m (начальная температура t0) и вода массой M-m (начальная температура t1). Уравнение теплового баланса:
c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0),
где t - искомая температура.
Отсюда t = (c(M-m)t1 - lm + cmt0)/(cM) = 0.7 °C
Разбалловка
Вода выливается | 2 балла |
---|---|
Масса вылившейся воды равна m (2.1 кг) | 3 балла |
(2 балла за rgV = mg и 1 балл за Dm = rV) | |
c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0) или то же в числах | 3 балла |
(эти 3 балла также ставятся за формулу cM(t1-t) = lm + cm(t-t0) тем, кто не догадался, что вода выливается) | |
t = (c(M-m)t1 - lm + cmt0)/(cM) | 1 балл |
Ответ: 0.7 °C | 1 балл |
(если все считалось в числах и получен правильный ответ, балл за итоговую формулу также ставится) |
Задача 4.
Обозначим толщину пластинки h, а ее площадь S. Масса пластинки равна rSh. На пластинку действуют сила тяжести Fт = rShg, сила давления Fд = SDp и сила реакции оси N. Разложим силу тяжести на две компоненты: параллельную и перпендикулярную пластинке. Параллельная пластинке проекция не может привести к повороту пластинки, поэтому ее рассматривать не будем. Теперь понятно, что для того, чтобы пластинка находилась в равновесии, сумма проекций сил тяжести и давления на ось, перпендикулярную пластинке, должна быть равна нулю: Fтsina = Fд. (Заодно получилось, что сила N направлена вдоль пластинки.) Отсюда rShgsina = SDp, и ответ: h = Dp/(rgsina). Тот же результат можно получить, приравнивая моменты сил тяжести и давления.
Разбалловка
m = rSh | 1 балл |
---|---|
Fт = rShg | 1 балл |
Fд = SDp | 2 балла |
Fтsina = Fд (или правило моментов) | 4 балла |
Oтвет: Dp/(rgsina) | 2 балла |
Задача 5.
Поскольку до замыкания ключа сила тока через все резисторы одинакова, сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны.
Мощности, выделяющиеся на резисторах: P1 = I2R1, P2 = I2R2
Напряжения на них: U1 = IR1, U2 = IR2
При этом суммарное напряжение равно U: U = U1+U2
Отсюда ток I = (I2R1+I2R2)/(IR1+IR2) = (P1+P2)/U = 0.75 А
Сопротивления резисторов R1 = P1/I2 = P1U2/(P1+P2)2 ≈ 178 Ом, R2 = P2U2/(P1+P2)2 ≈ 89 Ом
После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы и равны U/2.
Выделяющиеся мощности:
P1' = (U/2)2/R1 = (P1+P2)2/4P1 = 56.25 Вт, P2' = (P1+P2)2/4P2 = 112.5 Вт
Разбалловка
Сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны | 1 балл |
---|---|
Нахождение сопротивлений из первой схемы - 5 баллов: | |
P1 = I2R1, P2 = I2R2 | 1 балл |
U1 = IR1, U2 = IR2 | 1 балл |
U = U1+U2 | 1 балл |
I = (P1+P2)/U | 1 балл |
R1 = P1U2/(P1+P2)2, R2 = P2U2/(P1+P2)2 | 1 балл |
После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы и равны U/2 | 2 балла |
P1' = (P1+P2)2/4P1, P2' = (P1+P2)2/4P2 | 1 балл |
Ответ: 56.25 Вт и 112.5 Вт | 1 балл |
II вариант
Задача 1.
Вода будет перетекать в направлении того сосуда, в котором давление на уровне отверстия меньше.
Рассмотрим условия равновесия сосудов. Каждый сосуд, рассматриваемый отдельно от находящейся в нем воды, находится в равновесии под действием сил тяжести, давления воды (на дно сверху) и давления воздуха (на дно снизу):
mg + pS = paS,
где m - масса сосуда, p - давление воды на уровне дна, pa - атмосферное давление, S - площадь дна.
Поэтому давление на уровне дна меньше в более тяжелом сосуде. Следовательно, давление на уровне отверстия меньше также в более тяжелом сосуде, и вода потечет в его сторону.
Разбалловка
Вода потечет в сторону того сосуда, в котором меньше давление на уровне отверстия | 3 балла |
---|---|
Давление на уровне дна (или на уровне поршня) больше в правом сосуде | 4 балла |
Давление на уровне отверстия больше в правом сосуде | 2 балла |
Ответ: потечет налево | 1 балл |
Задача 2.
Обозначим скорость Макара v, ускорение Трофима a, радиус окружности R, время между встречами t.
Макар преодолел расстояние vt = pR, а Трофим at2/2 = 2R. Выражая время из первого равенства и подставляя во второе, получаем ap2R2/2v2 = 2R, или a = 4v2/p2R. Поскольку ускорение Макара равно v2/R, искомое отношение есть p2/4 ≈ 2.47
Разбалловка
vt = pR | 2 балла |
---|---|
at2/2 = 2R | 2 балла |
a = 4v2/p2R | 2 балла |
aцс = v2/R | 2 балла |
Ответ: p2/4 или 2.47 | 2 балла |
Задача 3.
При опускании льда в доверху наполненный сосуд часть воды выльется. Поскольку этот процесс происходит гораздо быстрее теплообмена и связанного с ним таяния льда, будем считать, что вытекающая вода имеет температуру t1. По закону Архимеда масса вытесненной воды равна массе льда - обозначим ее m. Таким образом, в сосуде находится лед массой m (начальная температура t0) и вода массой M-m (начальная температура t1). Уравнение теплового баланса:
c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0),
где t - искомая температура.
Отсюда m = cM(t1-t) / (c(t1-t0)+l) ≈ 0.81 кг
Разбалловка
Вода выливается | 2 балла |
---|---|
Масса вылившейся воды равна m | 3 балла |
(2 балла за rgV = mg и 1 балл за Dm = rV) | |
c(M-m)(t1-t) = lm + cm(t-t0) или то же в числах | 3 балла |
(эти 3 балла также ставятся за формулу cM(t1-t) = lm + cm(t-t0) тем, кто не догадался, что вода выливается) | |
m = cM(t1-t) / (c(t1-t0)+l) | 1 балл |
Ответ: 0.81 кг | 1 балл |
(если все считалось в числах и получен правильный ответ, балл за итоговую формулу также ставится) |
Задача 4.
Обозначим плотность пластинки r, а ее площадь S. Масса пластинки равна rSh. На пластинку действуют сила тяжести Fт = rShg, сила давления Fд = SDp и сила реакции оси N. Разложим силу тяжести на две компоненты: параллельную и перпендикулярную пластинке. Параллельная пластинке проекция не может привести к повороту пластинки, поэтому ее рассматривать не будем. Теперь понятно, что для того, чтобы пластинка находилась в равновесии, сумма проекций сил тяжести и давления на ось, перпендикулярную пластинке, должна быть равна нулю: Fтsina = Fд. (Заодно получилось, что сила N направлена вдоль пластинки.) Отсюда rShgsina = SDp, и ответ: r = Dp/(ghsina). Тот же результат можно получить, приравнивая моменты сил тяжести и давления.
Разбалловка
m = rSh | 1 балл |
---|---|
Fт = rShg | 1 балл |
Fд = SDp | 2 балла |
Fтsina = Fд (или правило моментов) | 4 балла |
Oтвет: Dp/(ghsina) | 2 балла |
Задача 5.
Поскольку до замыкания ключа сила тока через все резисторы одинакова и равна I/2, сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны.
Мощности, выделяющиеся на резисторах: P1 = I2R1/4, P2 = I2R2/4
Сопротивления резисторов R1 = 4P1/I2 = 32 Ом, R2 = 4P2/I2 = 128 Ом
После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы.
Определим токи через них: I1R1 = I2R2, I1+I2 = I, поскольку ток через амперметр разделяется между резисторами.
Поэтому I1 = IR2/(R1+R2) = IP2/(P1+P2) = 2 А, I2 = IP1/(P1+P2) = 0.5 А
Выделяющиеся мощности:
P1' = I12R1 = 4P1P22/(P1+P2) = 128 Вт, P2' = 4P12P2/(P1+P2) = 32 Вт
Разбалловка
Сопротивления резисторов, на которых выделяется одинаковая мощность, равны | 1 балл |
---|---|
До замыкания ключа сила тока через все резисторы одинакова и равна I/2 | 1 балл |
P1 = I2R1/4, P2 = I2R2/4 | 1 балл |
R1 = 4P1/I2, R2 = 4P2/I2 | 1 балл |
После замыкания ключа напряжения на всех резисторах одинаковы | 1 балл |
I1R1 = I2R2 | 1 балл |
I1+I2 = I | 1 балл |
I1 = IP2/(P1+P2), I2 = IP1/(P1+P2) | 1 балл |
P1' = 4P1P22/(P1+P2), P2' = 4P12P2/(P1+P2) | 1 балл |
Ответ: 128 Вт и 32 Вт | 1 балл |