Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 10 класса (район 2004)

Подробности

Обновлено 31.03.2013 11:58

Решения задач районного тура 2004 года для 10 класса.

1 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5
2 вариант: 1 · 2 · 3 · 4 · 5

I вариант

Задача 1.

Модуль горизонтальной проекции скорости мячика равен Vcosa (1 балл) и не меняется как во время свободного полета (1 балл), так и после ударов об стенку и потолок (2 балла). За время полета T мячик пролетел по горизонтали путь 4r (2 балла). Следовательно, VTcosa = 4r (1 балл). И ответ (3 балла):

V = 4r/(Tcosa)

Задача 2.

Угол, при котором начнется соскальзывание резины, определяется из известного условия tga = m₁ (2 балла), так как сила трения описывается коэффициентом трения покоя. После начала движения сила трения будет равна F_тр = m₂N (2 балла). Запишем уравнения движения в проекциях

x) mgsina - F_тр = ma

y) mgcosa - N = 0

Определяя из этих уравнений ускорение получим:

a = g(sina - m₂cosa) (2 балла)

Зная длину доски можно определить, пользуясь известными формулами равноускоренного движения:

t = (2L/a)^1/2 (2 балла)

Ответ: (1+m₁²)^1/4[2L/(g(m₁-m₂))]^1/2 (2 балла)

Задача 3.

Пусть высота отметки 1 литр - h. Рассмотрим один из шариков в мензурке. Его энергия равна (3/4)mgh (отсчитываем потенциальную энергию от дна мензурки) (1 балл).

Пусть в момент начала движения мензурки высота шарика над дном была h₁. Перейдем в систему отсчета мензурки. Если мензурка движется с ускорением g/2 вниз, эквивалентное ускорение свободного падения в такой системе равняется g/2 (g-g/2). Поэтому начало движения эквивалентно переключению ускорения свободного падения с g на g/2 (2 балла).

При таком переключении кинетическая энергия шарика не меняется, а потенциальная уменьшится на mgh₁/2. Полная энергия шарика станет равняться (3/4)mgh-mgh₁/2 (2 балла). Для того чтобы шарик начал долетать до высоты h (отметки 1 литр) энергия должна быть больше mgh/2 (1 балл). В результате получаем условие (1 балл):

Таким образом, если в момент начала движения шарик находится ниже отметки 500 мл, он начнет долетать до отметки 1 литр.

Рассмотрим движение шарика от отметки 750 мл к дну мензурки до начала ее движения. Первую четверть пути он проходит за время весь путь он проходит за время Следовательно, шарик проводит в нижней части мензурки всего времени (2 балла). И если мензурку начали опускать именно в это время, он начнет долетать до отметки 1 литр. Следовательно, так как банку начали опускать в случайный момент времени, примерно 42% шариков начнет долетать до отметки 1 литр (1 балл).

Задача 4.

Единицы измерения величин связаны такими же формулами, как и сами величины, не учитывая безразмерных коэффициентов стоящих в формулах. (2 балла)

Ед. теплоемкости = Ед. энергии / Ед. массы / Ед. температуры = … (2 балла)

= Ед. (скорости)²/ Ед. температуры =…

= Ед. ускорения · Ед. длины/Ед. Температуры (2 балла)

Подставляя данные из примечания к условию, получим:

Ед. теплоемкости(Х) = 9.8 · 0.3 / (5/9) Ед. теплоемкости(СИ) = 5.3 Ед. СИ (2 балла)

Теплоемкость воды с(Х) = 4200/5.3 (1 балл)

= 790 Ед. теплоемкости(Х) (1 балл)

Задача 5.

Резисторы 1 и 2 включены параллельно, поэтому схему можно перерисовать:

Или так:

Напряжение между точками A и B равно 2 В - это напряжение на полюсах батарейки 1 (или 2) (3 балла). Напряжение между точками B и C равно 6 В, поэтому напряжение между точками A и C, то есть на каждом из резисторов (1 балл), равно 8 В (1 балл). Значит, через каждый резистор течет ток 2 А (1 балл). Через батарейку 3 течет суммарный ток, равный 4 А (1 балл). Поскольку батарейки 1 и 2 одинаковые, через каждую из них течет половина суммарного тока (1 балл), то есть 2 А (2 балла).

II вариант

Задача 1.

Модуль горизонтальной проекции скорости мячика равен Vcosa (1 балл) и не меняется как во время свободного полета (1 балл), так и после ударов об стенку и потолок (2 балла). За время полета T мячик пролетел по горизонтали путь 4r (2 балла). Следовательно, VTcosa = 4r (1 балл). И ответ (3 балла):

r = VTcosa/4

Задача 2.

Угол, при котором начнется соскальзывание резины, определяется из известного условия tga = m₁ (2 балла), так как сила трения описывается коэффициентом трения покоя. После начала движения сила трения будет равна F_тр = m₂N (2 балла). Запишем уравнения движения в проекциях

x) mgsina - F_тр = ma

y) mgcosa - N = 0

Определяя из этих уравнений ускорение получим:

a = g(sina - m₂cosa) (2 балла)

Зная длину доски можно определить, пользуясь известными формулами равноускоренного движения:

v = (2La)^1/2 (2 балла)

Ответ: (1+m₁²)^-1/4[2Lg(m₁-m₂)]^1/2 (2 балла)

Задача 3.

Пусть высота отметки 1 литр - h. Рассмотрим один из шариков в мензурке. Его энергия равна (3/2)mgh (отсчитываем потенциальную энергию от дна мензурки) (1 балл).

Пусть в момент начала движения мензурки высота шарика над дном была h₁. Перейдем в систему отсчета мензурки. Если мензурка движется с ускорением g вверх, эквивалентное ускорение свободного падения в такой системе равняется 2g (g+g). Поэтому начало движения эквивалентно переключению ускорения свободного падения с g на 2g (2 балла).

При таком переключении кинетическая энергия шарика не меняется, а потенциальная увеличивается на mgh₁. Полная энергия шарика станет равняться (3/2)mgh+mgh₁ (2 балла). Для того чтобы шарик не долетал до отметки 1 литр его энергия должна быть меньше 2mgh (1 балл). В результате получаем условие (1 балл):

Таким образом, если в момент начала движения шарик находится ниже отметки 500 мл, он больше не будет долетать до отметки 1 литр.

Рассмотрим движение шарика от отметки 1.5 литра к дну мензурки до начала ее движения. Высоту h он проходит за время весь путь он проходит за время Следовательно, шарик проводит в нижней части мензурки всего времени (2 балла). И если мензурку начали опускать именно в это время, он перестанет долетать до отметки 1 литр. Следовательно, так как мензурку начали опускать в случайный момент времени, примерно 18% шариков перестанет долетать до отметки 1 литр (1 балл).

Задача 4.

Единицы измерения величин связаны такими же формулами, как и сами величины, не учитывая безразмерных коэффициентов стоящих в формулах. (2 балла)

Ед. теплоемкости = Ед. энергии / Ед. массы / Ед. температуры = … (2 балла)

= Ед. (скорости)²/ Ед. температуры =…

= (Ед. ускорения · Ед. времени)²/Ед. Температуры (2 балла)

Подставляя данные из примечания к условию, получим:

Ед. теплоемкости(Х) = (9.8 · 60)² / (5/9) Ед. теплоемкости(СИ) = 6.2·10⁵ Ед. СИ (2 балла)

Теплоемкость воды с(Х) = 4200/5.3 (1 балл)

= 790 Ед. теплоемкости(Х) (1 балл)

Задача 5.

Резисторы 1 и 2 включены параллельно, поэтому схему можно перерисовать:

Видно, что верхняя и нижняя батарейки включены параллельно. Перерисуем схему:

Или так:

Напряжение между точками B и C равно 6 В - это напряжение на полюсах батарейки 1 (или 3) (3 балла). Напряжение между точками A и B равно 8 В, поэтому напряжение между точками A и C, то есть на каждом из резисторов (1 балл), равно 14 В (1 балл). Значит, через каждый резистор течет ток 1 А (1 балл). Через батарейку 2 течет суммарный ток, равный 2 А (1 балл). Поскольку батарейки 1 и 3 одинаковые, через каждую из них течет половина суммарного тока (1 балл), то есть 1 А (2 балла).