Решения 10 класса (город 2003)

Подробности
Обновлено 31.03.2013 12:19

Решения задач городского тура 2003 года для 10 класса (кроме задачи 4).

1 · 2 · 3 · 4 · 5

Задача 1.

Обозначим искомое расстояние l, а силу натяжения тросов вблизи их концов T1. Второй закон Ньютона для космонавта:

mw2l/2 = 2T1cos(a/2)

Поскольку трос вращается равномерно, то моменты сил (относительно центра вращения), действующих на любой его участок, скомпенсированы. В частности, для участка троса от одного из концов до середины:

T1sin(a/2)l/2 = Td/2

Решая эти уравнения, получаем

Задача 2.

В любой момент времени РADC+РBCD = 1/2·(ИAC+ИBD) = 1/2·(2·p-ИAB-ИCD) = p/2; следовательно, треугольник CED - прямоугольный и E лежит на окружности с диаметром СD (|CD| = √2R). То есть E движется по окружности с радиусом R/√2 с той же угловой скоростью и угловым ускорением, что и точка A (ИAC = 2·РADC = ИCE). Поэтому линейное ускорение точки E в Ц2 раз меньше ускорения точки A.

Пусть скорости бусинок в исследуемый момент равны v. Из закона сохранения энергии:

2·(mv2/2) = 2·(k(2·R-√2·R)2/2)

получаем v2 = k(2-√2)2R2/m. Силы, действующие на бусинки со стороны нерастянутых резинок, равны нулю. Силы со стороны стержня также отсутствуют, иначе они вызывали бы противоположные тангенциальные ускорения точек A и B. Следовательно, у точек A и B имеется только нормальное ускорение, равное v2/R. Поэтому ускорение точки E равно k(2-√2)2R/m√2 и направлено по отрезку CD.

Задача 3.

Поток тепла в газ пропорционален площади теплопроводящей поверхности, которая в свою очередь пропорциональна длине резинки L. Когда длина фиксирована, тепло идёт только на увеличение внутренней энергии газа:

aL0 = (3/2)nR(DT/Dt)

L0 = 1 м, a - коэффициент пропорциональности между мощностью и длиной.

 

DT/Dt = 0.05 K/c = w и постоянно в рассматриваемом интервале времени. То есть a можно считать постоянным и не зависящим от температуры газа:

a = (3/2)nRw/L0 (*)

При движении же поршня газ совершает работу, равную изменению потенциальной энергии резинки DA = D(kL2/2). Заметим, что

pV = pS·L = kL·L = kL2 (S - площадь поршня).

Тогда изменение внутренней энергии газа DU = (3/2)D(pV) = 3·D(kL2/2) = 3DA.

Поступающая мощность:

aL = (DU+DA)/Dt = 4·DA/Dt = 4·kL·u (u - скорость поршня)

Отсюда u постоянно и равно (используем (*)):

u = a/(4k) = 3nRw/8kL0 = 0.045 м/c

Задача 4.

<under construction>

Ответ: рабочий диапазон Rн > 66 Ом, прибор сгорает при Rн < 10 Ом.

Задача 5.

Рассмотрим два луча из падающего на зеркало пучка на малом расстоянии d. Обозначим за x расстояние между точками падения этих лучей. Если x мало, то очевидно, что d = xcosj. Далее считается, что углы a и b (см. рис.) малы, и для них выполняются соотношения sina = a и sinb = b. Кроме того, неважно, от точки падения какого из лучей отсчитывать искомое расстояние.

Чтобы определить угол b между отраженными лучами, воспользуемся следующим фактом: если падающий на зеркало луч неподвижен, а зеркало поворачивают на угол a, то отраженный луч поворачивается на 2a. В данном случае угол между касательными к зеркалу в точках падения выбранных лучей равен a = x/R, поэтому угол между отраженными лучами b = 2a = 2x/R.

Теперь, если обозначить искомое расстояние l, то bl = b, где b - обозначенное на чертеже расстояние от точки падения одного из лучей до другого (отраженного) луча. Поскольку b = xcosj, понятно, что b = d. Вычислим ответ:

l = b/b = Rd/(2x) = Rxcosj/(2x) = (1/2)Rcosj

Ответ: l = (R/2)cosj.