Решения 11 класса (район 2005)

Решения задач районного тура 2005 года для 11 класса.

1 вариант: тест · 1 · 2 · 3 · 4
2 вариант: тест · 1 · 2 · 3 · 4

I вариант

Ответы теста (максимальное количество баллов - 32)

  1. b - 4 балла
  2. c - 5 баллов
  3. d - 6 баллов
  4. f - 8 баллов
  5. d - 9 баллов

Решения задач (максимальное количество баллов - 68)

Задача 1 (12 баллов)

  • После первого столкновения с доской шарик отскочит от нее так, что угол падения будет равен углу отражения (см. рис 1).
  • Можно, обозначив длину доски через L и рассматривая соударения одно за другим, находить координату каждой последующей точки соударения и, таким образом сосчитать число ударов шайбы о доски. Такой расчет, однако, является весьма громоздким, и мы не будем приводить его. Если в работе он доведен до конца, такое решение оценивается полным баллом.
  • Можно, однако, поступить проще. Вместо того, чтобы отражать траекторию шарика от доски, оставим траекторию прямой, но отразим от доски ОА вторую доску ОС (см. рис 2). Повторим эту операцию до тех пор, пока прямая АВ (АВ параллельна СD) пересекается с отражениями досок. Для того, чтобы восстановить траекторию шарика с помощью рисунка 2, нужно сложить его по линиям ОА, ОС1, ОА1, ОС2, ОА2, ОС3, а затем посмотреть на линию АВ "на просвет".
  • Из рисунка 2 видно, что число соударений шайбы с досками равно шести
  • Можно доказать, что так как (B - точка, где шайба покидает угол, т.е. лежащая на окружности АС1А1С2А2С3), для произвольного угла между досками a, число соударений равно , где квадратные скобки означают целую часть от дроби.

Задача 2 (16 баллов)

  • Шар находится в равновесии над полом, так как действующие на него сила тяжести и сила Архимеда скомпенсированы. Поскольку при изменении атмосферного давления меняется объем шарика, меняется и выталкивающая сила, действующая на него. Следовательно, и длина веревки, которую шарик может поднять над полом, изменяется.
  • Обозначим массу резиновой оболочки шара через M, объем шарика при давлении p0 через V0, объем шарика при давлении p1 через V1, а расстояние от шарика до пола при давлении p1 через H1. Кроме того, введем r0 и r1 - плотность воздуха при давлениях p0 и p1 соответственно. Тогда баланс сил при давлении p0имеет вид
    (M+m)g + lHg = r0gV0 (1)
    При давлении p1баланс также сохранился:
    (M+m)g + lH1g = r1gV1 (2)
    Вычтем из второго уравнения первое (так что вес резиновой оболочки сократится) и выразим величину H1:
    (3)
  • Давление воздуха p0 можно связать с его плотностью r0 при помощи формулы Клайперона - Менделеева, записанного для некоторой массы воздуха mВ, имеющей при комнатной температуре T объем VВ:
    (4)
    Аналогичное соотношение связывает давление p1 с плотностью r1:
    (5)
  • Объем шарика V0 можно найти при помощи формулы Клайперона - Менделеева, записанного для гелия массы m, имеющего при комнатной температуре T давление p0+Dp:
    (6)
    Аналогично вычисляется объем шарика V1:
    (7)
  • Подставляя (4), (5), (6), (7) в (3), получаем ответ
    ,
    то есть высота шарика над полом увеличится.

Задача 3 (24 балла)

  • Найдем возможные положения равновесия для описанной в задаче системы. Пусть заряды остановились на некотором расстоянии x друг от друга (см. рис. 1), для определенности заряд -2q (черный шарик) поместим в положении равновесия на верхней нити, а заряд q (серый шарик) - на нижней. Натяжение левой нити обозначим T1, правой - T2, будем считать, что левая нить - короткая (длиной L/2).
  • Сила кулоновского взаимодействия между зарядами равна
    FKL = 2kq2/x2, (1)
    причем все силы, включая FKL, направлены вдоль оси ОХ, так как по условию радиусы цилиндров очень малы, и оба заряда движутся практически по одной прямой. Силы, с которой однородное электрическое поле действует на заряды, равны по модулю qE и 2qE. Все описанные силы изображены на рисунке.
  • Запишем условие, что силы, действующие на каждый заряд, скомпенсированы в положении равновесия. Для заряда qоно имеет вид (в проекции на ось ОХ)
    T2 + qE - FKL - T1 = 0 (2)
    Для заряда -2qаналогично
    T2 + FKL - T1 - 2qE = 0 (3)
  • Вычитая из (2) уравнение (3), так чтобы натяжения нитей сократились, и, подставляя FKL из (1), выразим расстояние x между зарядами в положении равновесия:
  • Несложно также найти величину y, характеризующую положение верхнего заряда относительно цилиндров. Длина левой нити равна L/2, с другой стороны, ее нетрудно выразить через x и y:
    L/2 = 2y+x
  • Замечание: для того, чтобы верно было приближение, в котором все силы параллельны оси ОY, необходимо, чтобы найденное x было много больше радиуса цилиндров.
  • Несложно видеть, что в ситуации, когда на нижней нити находится заряд -2q, а на верхней - заряд q (см. рис. 2), условие равновесия имеет тот же вид, что и система (2)(3); прежним остается и расстояние между зарядами в положении равновесия x. Однако величина y теперь характеризует положение заряда q на верхней нити, а положение заряда -2q на нижней нити определяется величиной x+y.
  • Однако полученное решение, как мы увидим, не единственное. Если заряды окажутся на одной половинке нити - оба снизу (см. рис.2) или оба сверху, можно показать, что действующие на них силы не могут быть скомпенсированы. Действительно, полная сила, действующая на оба заряда вместе, будет направлена в ту сторону, в которую внешнее поле тянет наибольший по модулю заряд. Поэтому наибольший заряд (в данном случае -2q) съедет до самого цилиндра (в случае рис. 3, влево), утягивая за собой меньший. Остальные, не изображенные на рис.3 силы, являются внутренними по отношению к данной системе. Таким образом, на рис. 3 изображено возможное положение равновесия системы.
  • Существует еще два положения равновесия - когда заряды "слипаются" (см. рис. 4, 5).
  • Итак, мы обнаружили пять различных положения равновесия в системе (изображенные на рисунках 1, 2, 3, 4, 5). Для того, чтобы выяснить, какое же из них на самом деле реализуется в системе, следует исследовать их на устойчивость. Положение на рис.1, очевидно, неустойчиво. Действительно, если верхний заряд (-2q) чуть сдвинется влево (а другой заряд, соответственно, чуть вправо), кулоновское взаимодействие между ними уменьшится, и заряды еще больше раздвинутся, так что система "свалится" в положение, изображенное на рис. 3. Если же верхний заряд чуть сдвинется вправо (а заряд q, соответственно, чуть влево), кулоновское взаимодействие между ними увеличится, и заряды еще больше притянутся, так что система "свалится" в положение, изображенное на рис. 4. Аналогично, состояние изображенное на рис.2, также является неустойчивым.
  • Существует еще третье положение неустойчивого равновесия (см. рис.6) в некотором смысле симметричное состоянию, изображенному на рис. 3. Действительно, если чуть сдвинуть заряд -2q в сторону верхней нити (против часовой стрелки), он поедет влево по верхней нити, и система "упадет" в состояние на рис. 4. Если же чуть сдвинуть заряд -2q в сторону нижней нити (по часовой стрелке), он поедет влево по нижней нити, потянет за собой второй заряд и система "упадет" в состояние на рис. 5.
  • Итак, положения равновесия на рис. 1, 2, 6 являются неустойчивыми, а положения на рис. 3, 4, 5 - устойчивыми, причем положения 4, 5 абсолютно устойчивы - в них система имеет практически бесконечную отрицательную энергию (точечные заряды противоположного знака бесконечно близко друг к другу). Поэтому, даже обладая некоторой скоростью, система не может "проскочить" эти положения. Состояние на рис.3 хотя и устойчиво, но в нем система обладает конечной энергией, поэтому, обладая кинетической энергией, превосходящей по модулю энергию кулоновского взаимодействия, система может "проскочить" его.
  • Сосчитаем вероятность, с которой реализуются состояния на рис. 3, 4, 5. На рис 7 крестиками изображены неустойчивые положения заряда -2q, а квадратиками - устойчивые положения. Положение второго заряда восстанавливается однозначно, мы не указываем его, чтобы не загромождать рисунок. Все положения равновесия на рис. 7 пронумерованы. То или иное равновесное состояние реализуется в зависимости от начальных условий задачи. Предположим, что кинетическая энергия системы невелика (в соответствии с условием задачи нить и заряды легкие; это обеспечивает малость кинетической энергии). Тогда описанное в предыдущем пункте "проскакивание" положения равновесия 3 не происходит. Если в начальный момент заряд -2q находился в положениях между состоянием 1 и состоянием 3, или между состояниями 3 и 2 (что происходит с вероятностью равной отношению длины заштрихованной зоны к полной длине нити, т.е. (L-x)/(2L)), система стремится в положение 3. Аналогично, если больший по модулю заряд находится в области между состояниями 1 и 4 или 4 и 6 (это происходит с вероятностью (L-y)/(2L)), система стремится в положение 4. Если больший по модулю заряд находится в оставшейся области (это происходит с вероятностью (x+y)/(2L)), система стремится в положение 5.
  • Когда x = L/2 положения равновесия 1 и 3 (как и 2 и 6) сливаются. При x > L/2 положения равновесия 1, 2 исчезают. Проанализируйте для этих ситуаций картину устойчивости самостоятельно.

Задача 4 (16 баллов)

  • На провод длиной l с током I, расположенный перпендикулярно однородному магнитному полю B, действует сила Ампера F = IBl, причем направление силы перпендикулярно как направлению провода, так и направлению поля. Предложенную в задаче систему можно разбить на куски, состоящие из прямолинейных проводов в однородном поле, найти силы, действующие на каждый кусок и затем сложить все силы векторно. При этом можно также учесть, что из соображений симметрии результирующая сила будет перпендикулярна плоскости AA', так что достаточно для каждого куска провода искать проекцию силы Ампера на ось ОХ. Такой способ решения, хотя и является громоздким, приводит к правильному ответу.
  • Можно, однако, заметить, что выражение для проекции силы Ампера на ось ОХ F = IBlcosa, где a - угол между направлением силы Ампера и осью ОХ (и, одновременно, угол между проводом и направлением AA' - см. рис. 2) не меняется, если вместо исходного провода рассмотреть перпендикулярный ОХ провод длиной lcosa с током I. Например, проекция силы Ампера не изменится, если провод ab на рисунке 2 заменить проводом cd с таким же током.
  • Заменим все провода системы по этому принципу. Провода 1-3-5-2 и 1-4-2 (см. рис.1) заменяются на куски 1-2, расположенные справа от AA'; 2-7-1 и 2-6-1 заменяются на куски 2-1, расположенные слева от AA' (см. рис. 2, 3).
  • Для четырех образовавшихся проводов несложно найти проекции сил Ампера на ОХ: для каждого провода проекция равна -4IBd, поэтому полная сила равна 16IBd и направлена против оси ОХ.

II вариант

Ответы теста (максимальное количество баллов - 32)

  1. a - 4 балла
  2. d - 5 баллов
  3. d - 6 баллов
  4. f - 8 баллов
  5. a - 9 баллов

Решения задач (максимальное количество баллов - 68)

Задача 1 (12 баллов)

  • После первого столкновения с доской шарик отскочит от нее так, что угол падения будет равен углу отражения (см. рис 1).
  • Можно, обозначив длину доски через L и рассматривая соударения одно за другим, находить координату каждой последующей точки соударения и, таким образом сосчитать число ударов шайбы о доски. Такой расчет, однако, является весьма громоздким, и мы не будем приводить его. Если в работе он доведен до конца, такое решение оценивается полным баллом.
  • Можно, однако, поступить проще. Вместо того, чтобы отражать траекторию шарика от доски, оставим траекторию прямой, но отразим от доски ОА вторую доску ОС (см. рис 2). Повторим эту операцию до тех пор, пока прямая АВ (АВ параллельна СD) пересекается с отражениями досок. Для того, чтобы восстановить траекторию шарика с помощью рисунка 2, нужно сложить его по линиям ОА, ОС1, ОА1, ОС2, а затем посмотреть на линию АВ "на просвет".
  • Из рисунка 2 видно, что число соударений шайбы с досками равно четырем
  • Можно доказать, что так как (B - точка, где шайба покидает угол, т.е. лежащая на окружности АС1А1С2А2), для произвольного угла между досками a, число соударений равно , где квадратные скобки означают целую часть от дроби.

Задача 2 (16 баллов)

  • Шар находится в равновесии над полом, так как действующие на него сила тяжести и сила Архимеда скомпенсированы. Поскольку при изменении температуры меняется объем шарика, меняется и выталкивающая сила, действующая на него. Следовательно, и длина веревки, которую шарик может поднять над полом, изменяется.
  • Обозначим массу резиновой оболочки шара через M, объем шарика при температуре TY через VY, объем шарика при температуре TK через VK, а расстояние от шарика до пола при температуре TK через H1. Кроме того, введем r0 - плотность воздуха при давлении p0. Тогда баланс сил для холодного шарика имеет вид
    (M+m)g + lHg = r0gVY (1)
    Когда шарик нагрелся, баланс также сохранился:
    (M+m)g + lH1g = r1gVK (2)
    Вычтем из второго уравнения первое (так что вес резиновой оболочки сократится) и выразим величину H1:
    (3)
  • Давление воздуха p0 можно связать с его плотностью r0 при помощи формулы Клайперона - Менделеева, записанного для некоторой массы воздуха mВ, имеющей при комнатной температуре TK объем VВ:
    (4) → (5)
  • Объем шарика VY можно найти при помощи формулы Клайперона - Менделеева, записанного для гелия массы m, имеющего при давлении p0+Dp температуру TY:
    (6)
    Аналогично вычисляется объем шарика VK при температуре TK:
    (7)
  • Подставляя (5), (6), (7) в (3), получаем ответ
    ,
    то есть высота шарика над полом увеличится.

Задача 3 (24 балла)

  • Найдем возможные положения равновесия для описанной в задаче системы. Пусть заряды остановились на некотором расстоянии x друг от друга (см. рис. 1), для определенности заряд -3q (черный шарик) поместим в положении равновесия на верхней нити, а заряд q (серый шарик) - на нижней. Натяжение левой нити обозначим T1, правой - T2, будем считать, что левая нить - короткая (длиной L/3).
  • Сила кулоновского взаимодействия между зарядами равна
    FKL = 3kq2/x2, (1)
    причем все силы, включая FKL, направлены вдоль оси ОХ, так как по условию радиусы цилиндров очень малы, и оба заряда движутся практически по одной прямой. Силы, с которой однородное электрическое поле действует на заряды, равны по модулю qE и 3qE. Все описанные силы изображены на рисунке.
  • Запишем условие, что силы, действующие на каждый заряд, скомпенсированы в положении равновесия. Для заряда qоно имеет вид (в проекции на ось ОХ)
    T2 + qE - FKL - T1 = 0 (2)
    Для заряда -3qаналогично
    T2 + FKL - T1 - 3qE = 0 (3)
  • Вычитая из (2) уравнение (3), так чтобы натяжения нитей сократились, и, подставляя FKL из (1), выразим расстояние x между зарядами в положении равновесия:
  • Несложно также найти величину y, характеризующую положение верхнего заряда относительно цилиндров. Длина левой нити равна L/3, с другой стороны, ее нетрудно выразить через x и y:
    L/3 = 2y+x
  • Замечание: для того, чтобы верно было приближение, в котором все силы параллельны оси ОY, необходимо, чтобы найденное x было много больше радиуса цилиндров.
  • Несложно видеть, что в ситуации, когда на нижней нити находится заряд -3q, а на верхней - заряд q (см. рис. 2), условие равновесия имеет тот же вид, что и система (2)(3); прежним остается и расстояние между зарядами в положении равновесия x. Однако величина y теперь характеризует положение заряда q на верхней нити, а положение заряда -3q на нижней нити определяется величиной x+y.
  • Однако полученное решение, как мы увидим, не единственное. Если заряды окажутся на одной половинке нити - оба снизу (см. рис.2) или оба сверху, можно показать, что действующие на них силы не могут быть скомпенсированы. Действительно, полная сила, действующая на оба заряда вместе, будет направлена в ту сторону, в которую внешнее поле тянет наибольший по модулю заряд. Поэтому наибольший заряд (в данном случае -3q) съедет до самого цилиндра (в случае рис. 3, влево), утягивая за собой меньший. Остальные, не изображенные на рис.3 силы, являются внутренними по отношению к данной системе. Таким образом, на рис. 3 изображено возможное положение равновесия системы.
  • Существует еще два положения равновесия - когда заряды "слипаются" (см. рис. 4, 5).
  • Итак, мы обнаружили пять различных положения равновесия в системе (изображенные на рисунках 1, 2, 3, 4, 5). Для того, чтобы выяснить, какое же из них на самом деле реализуется в системе, следует исследовать их на устойчивость. Положение на рис.1, очевидно, неустойчиво. Действительно, если верхний заряд (-3q) чуть сдвинется влево (а другой заряд, соответственно, чуть вправо), кулоновское взаимодействие между ними уменьшится, и заряды еще больше раздвинутся, так что система "свалится" в положение, изображенное на рис. 3. Если же верхний заряд чуть сдвинется вправо (а заряд q, соответственно, чуть влево), кулоновское взаимодействие между ними увеличится, и заряды еще больше притянутся, так что система "свалится" в положение, изображенное на рис. 4. Аналогично, состояние изображенное на рис.2, также является неустойчивым.
  • Существует еще третье положение неустойчивого равновесия (см. рис.6) в некотором смысле симметричное состоянию, изображенному на рис. 3. Действительно, если чуть сдвинуть заряд -3q в сторону верхней нити (против часовой стрелки), он поедет влево по верхней нити, и система "упадет" в состояние на рис. 4. Если же чуть сдвинуть заряд -3q в сторону нижней нити (по часовой стрелке), он поедет влево по нижней нити, потянет за собой второй заряд и система "упадет" в состояние на рис. 5.
  • Итак, положения равновесия на рис. 1, 2, 6 являются неустойчивыми, а положения на рис. 3, 4, 5 - устойчивыми, причем положения 4, 5 абсолютно устойчивы - в них система имеет практически бесконечную отрицательную энергию (точечные заряды противоположного знака бесконечно близко друг к другу). Поэтому, даже обладая некоторой скоростью, система не может "проскочить" эти положения. Состояние на рис.3 хотя и устойчиво, но в нем система обладает конечной энергией, поэтому, обладая кинетической энергией, превосходящей по модулю энергию кулоновского взаимодействия, система может "проскочить" его.
  • Сосчитаем вероятность, с которой реализуются состояния на рис. 3, 4, 5. На рис 7 крестиками изображены неустойчивые положения заряда -3q, а квадратиками - устойчивые положения. Положение второго заряда восстанавливается однозначно, мы не указываем его, чтобы не загромождать рисунок. Все положения равновесия на рис. 7 пронумерованы. То или иное равновесное состояние реализуется в зависимости от начальных условий задачи. Предположим, что кинетическая энергия системы невелика (в соответствии с условием задачи нить и заряды легкие; это обеспечивает малость кинетической энергии). Тогда описанное в предыдущем пункте "проскакивание" положения равновесия 3 не происходит. Если в начальный момент заряд -3q находился в положениях между состоянием 1 и состоянием 3, или между состояниями 3 и 2 (что происходит с вероятностью равной отношению длины заштрихованной зоны к полной длине нити, т.е. (L-x)/(2L)), система стремится в положение 3. Аналогично, если больший по модулю заряд находится в области между состояниями 1 и 4 или 4 и 6 (это происходит с вероятностью (L-y)/(2L)), система стремится в положение 4. Если больший по модулю заряд находится в оставшейся области (это происходит с вероятностью (x+y)/(2L)), система стремится в положение 5.
  • Когда x = L/3 положения равновесия 1 и 3 (как и 2 и 6) сливаются. При x > L/3 положения равновесия 1, 2 исчезают. Проанализируйте для этих ситуаций картину устойчивости самостоятельно.

Задача 4 (16 баллов)

  • На провод длиной l с током I, расположенный перпендикулярно однородному магнитному полю B, действует сила Ампера F = IBl, причем направление силы перпендикулярно как направлению провода, так и направлению поля. Предложенную в задаче систему можно разбить на куски, состоящие из прямолинейных проводов в однородном поле, найти силы, действующие на каждый кусок и затем сложить все силы векторно. При этом можно также учесть, что из соображений симметрии результирующая сила будет перпендикулярна плоскости AA', так что достаточно для каждого куска провода искать проекцию силы Ампера на ось ОХ. Такой способ решения, хотя и является громоздким, приводит к правильному ответу.
  • Можно, однако, заметить, что выражение для проекции силы Ампера на ось ОХ F = IBlcosa, где a - угол между направлением силы Ампера и осью ОХ (и, одновременно, угол между проводом и направлением AA' - см. рис. 2) не меняется, если вместо исходного провода рассмотреть перпендикулярный ОХ провод длиной lcosa с током I. Например, проекция силы Ампера не изменится, если провод ab на рисунке 2 заменить проводом cd с таким же током.
  • Заменим провода системы по этому принципу. Провода 1-3-5-2 и 1-4-2 (см. рис.1) заменяются на куски 1-2, расположенные справа от AA'; 2-7-1 и 2-6-1 заменяются на куски 2-1, расположенные слева от AA' (см. рис. 2, 3).
  • Для четырех образовавшихся проводов несложно найти проекции сил Ампера на ОХ: для каждого из проводов слева от AA' проекция равна FX1 = -4IBd; для проводов справа от AA' она оказывается FX2 = 8IBd. Полная сила равна 2FX1 + 2FX2 = 8IBd и направлена вдоль оси ОХ.