Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Обозначим
$H$ — высота башни
$V$ — скорость распространения пламени вверх; тогда скорость распространения пламени вниз будет, по условию, $sV$, $s = 7$.

Точки возгорания делят на 3 участка:
нижний, высотой $\frac{H}{10}$, горит со скоростью $V$;
средний, высотой $x$, горит со скоростью $(s+1)V$;
верхний, высотой $\frac{9H}{10}-x$, горит со скоростью $sV$. 1 балл

Очевидно, время полного сгорания башни — максимальное из времен сгорания каждого куска. С увеличением среднего участка башни в два раза
a) время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка увеличится в 2 раза
c)время горения верхнего участка уменьшится. 1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел средний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех также горит средний участок, причем время горения должно увеличиться в 2 раза. По условию задачи видим, что это не так. 1 балл

С уменьшением среднего участка башни в два раза
a)время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка уменьшится в 2 раза
c)время горения верхнего участка увеличится.1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел верхний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $\frac{x}{2}$ дольше всех также горит верхний участок, и время сгорания башни увеличится. По условию задачи видим, что это не так. 1 балл

Итак, при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел нижний участок, и для времени его сгорания справедливо

$\frac{H/10}{V} = t_1$ = 60 ч. 1.5 балла

При расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех горит средний участок (если бы дольше горел по-прежнему нижний участок, время сгорания бы не изменилось), поэтому для времени сгорания справедливo

$\frac{2x}{(s+1)V} = t_2$ = 61 ч. 1.5 балла

Исключая из уравнений $V$, найдем

$H$ = 541 м. 2 балла

Обозначим
$H$ — высота башни
$V$ — скорость распространения пламени вверх; тогда скорость распространения пламени вниз будет, по условию, $sV$, $s = 5$.

Точки возгорания делят на 3 участка:
нижний, высотой $\frac{27H}{200}$, горит со скоростью $V$;
средний, высотой $x$, горит со скоростью $(s+1)V$;
верхний, высотой $\left(1-\frac{27}{200}\right)H - x$, горит со скоростью $sV$. 1 балл

Очевидно, время полного сгорания башни — максимальное из времен cгорания каждого куска. С увеличением среднего участка башни в два раза
a)время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка увеличится в 2 раза
c)время горения верхнего участка уменьшится. 1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел средний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех также горит средний участок, причем время горения должно увеличиться в 2 раза. По условию задачи видим, что это не так. 1 балл

С уменьшением среднего участка башни в два раза
a)время горения нижнего участка не изменится
b)время горения среднего участка уменьшится в 2 раза
c)время горения верхнего участка увеличится. 1 балл

Предположим, что при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел верхний участок. Тогда при расстоянии между точками возгорания $\frac{x}{2}$ дольше всех также горит верхний участок, и время сгорания башни увеличится. По условию задачи видим, что это не так. 1 балл

Итак, при расстоянии $x$ между точками возгорания дольше всего горел нижний участок, и для времени его сгорания справедливо

$\frac{27H/200}{V} = t_1$ = 79,5 ч 1.5 балла

При расстоянии между точками возгорания $2x$ дольше всех горит средний участок (если бы дольше горел по прежнему нижний участок, время сгорания бы не изменилось), поэтому для времени сгорания справедливо

$\frac{2x}{(s+1)V} = t_2$ = 80 ч. 1.5 балла

Исключая из уравнений $V$, найдем

$H$ = 540 м. 2 балла

Понимание, что в точке подвеса на веревку действуют три силы: две равных друг другу и направленных вдоль веревки силы натяжения веревки и вес альпиниста (равный силе тяжести альпиниста).

1

Понимание, что для того, чтобы альпинист смог перебраться на другую сторону, сумма этих сил должна быть равна 0,

1

и при этом сила натяжения веревки не должна превышать силу разрыва $T$.

1

Выберем, для простоты рассмотрения, ситуацию, когда альпинист находится на середине веревки. $$M\vec{g} + \vec{T}_1 + \vec{T}_1' = \vec{0}$$

1

Спроецируем это уравнение на вертикальную и горизонтальную оси: $$Ox: T_1\cos\alpha - T_1\cos\alpha = 0$$ $$Oy: 2T_1\sin\alpha - Mg = 0$$

1

$$\cos\alpha = \frac{H}{L}$$

1

Найдем, чему должна быть равна сила T₁, чтобы альпинист не упал в пропасть: $$T_1 = \frac{MgL}{2\sqrt{L^2 - H^2}}$$

1

$$T_1 = 1281\mbox{ Н}$$ $T_1 > T$, следовательно, канат порвется, и альпинист не сможет перебраться через пропасть.

$$T_1 = 1111\mbox{ Н}$$ $T_1 > T$, следовательно, канат порвется, и альпинист не сможет перебраться через пропасть.

1

Ответ: альпинист не сможет перебраться через пропасть.

Ответ: альпинист не сможет перебраться через пропасть.

Итого: 8

Представление о том, как можно рассчитать расстояние между точками разрывов. Например, выберем за начало отсчета точку в пространстве, где находился бомбардировщик в момент, когда он сбросил 9 бомбу. Тогда расстояние между точками разрывов 9 и 11 бомб может быть определено следующим образом: $$\Delta S = L + S_2 - S_1,$$

где $L$ – расстояние между точками, в которых находился самолет в момент сбрасывания 9 и 11 бомб;

$S_2$ – горизонтальное смещение 11 бомбы за время ее полета до земли;

$S_1$ — горизонтальное смещение 9 бомбы за время ее полета до земли.

Представление о том, как можно рассчитать расстояние между точками разрывов. Например, выберем за начало отсчета точку в пространстве, где находился бомбардировщик в момент, когда он сбросил 3 бомбу. Тогда расстояние между точками разрывов 3 и 5 бомб может быть определено следующим образом: $$\Delta S = L + S_2 - S_1,$$

где $L$ – расстояние между точками, в которых находился самолет в момент сбрасывания 3 и 5 бомб;

$S_2$ – горизонтальное смещение 5 бомбы за время ее полета до земли;

$S_1$ — горизонтальное смещение 3 бомбы за время ее полета до земли.

1

Понимание того, что в горизонтальном направлении бомбы двигаются равномерно: $$S = Vt_т$$

$$L = \frac{(V_1 + V_2)2t}{2},$$ где: $V_1$ – скорость бомбардировщика в момент сбрасывания 3 бомбы;

$V_2$ – скорость бомбардировщика в момент сбрасывания 5 бомбы.

1

Понимание того, что в горизонтальном направлении бомбы двигаются со скоростями, равными скорости самолета в момент сбрасывания бомбы: $$S_1 = V_1 T$$ $$S_2 = V_2 T$$ где: $V_1$ – скорость бомбардировщика в момент сбрасывания 9 бомбы;

$V_2$ – скорость бомбардировщика в момент сбрасывания 11 бомбы;

$T$ – время падения бомб на землю.

$$V_1 = V_0 + a \cdot 2t$$

1

Понимание того, что, так как самолет движется горизонтально, то время падения бомб на землю не зависит от скорости самолета и одинаково для всех бомб.

$$V_2 = V_0 + a \cdot 4t$$

1

$$T = \sqrt{\frac{2H}{g}}$$

Понимание того, что в горизонтальном направлении бомбы двигаются равномерно: $$S = Vt_т$$

1

$$V_1 = V_0 + a \cdot 8t$$

Понимание того, что в горизонтальном направлении бомбы двигаются со скоростями, равными скорости самолета в момент сбрасывания бомбы: $$S_1 = V_1 T$$ $$S_2 = V_2 T$$ где $T$ – время падения бомб на землю.

1

$$V_2 = V_0 + a \cdot 10t$$

Понимание того, что, так как самолет движется горизонтально, то время падения бомб на землю не зависит от скорости самолета и одинаково для всех бомб.

1

$$L= \frac{V_1 + V_2)2t}{2}$$

$$T = \sqrt{\frac{2H}{g}}$$

1

$$\Delta S = (2V_0 + 18at)t + 2at\sqrt{\frac{2H}{g}}$$

$$a = \frac{\Delta S - 2V_0 t}{2t\left(t + \sqrt{\frac{2H}{g}}\right)}$$

1

$$\Delta S = 129\mbox{ м}$$

$$a = 3\mbox{ м/с}^2$$

1

Ответ: $\Delta S$ = 129 м

Ответ: $a$ = 3 м/с$^2$

Итого: 10

Перейдем в систему отсчета, связанную с точкой крепления блока (потолок). Эта система неинерциальная, и необходимо ввести силы инерции. С учетом этого запишем 2 закон Ньютона для обоих тел:

1 за рисунок с изображением сил

$$M\vec{g} + \vec{F}_{и1} + \vec{T} = M\vec{a}$$ $$m\vec{g} + \vec{F}_{и2} + \vec{T} = m\vec{a}$$

$$M\vec{g} + \vec{F}_{и1} + 2\vec{T} = M\frac{\vec{a}}{2}$$ $$m\vec{g} + \vec{F}_{и2} + \vec{T} = m\vec{a}$$

1

Так как нить нерастяжима и остается все время натянутой, то ускорения обоих тел равны по модулю.

Так как нить нерастяжима и остается все время натянутой, а один из блоков подвижный, то ускорения тел относятся как 1/2.

1

Спроецируем эти уравнения на вертикальную ось, считая, что система движется с ускорением $a_с$ вниз: $$Ox: Mg - Ma_с - T = Ma$$ $$Ox: ma_c + T - mg = ma$$

Спроецируем эти уравнения на вертикальную ось, считая, что система движется с ускорением $a_с$ вниз: $$Ox: Mg - Ma_с - 2T = \frac{Ma}{2}$$ $$Ox: ma_c + T - mg = ma$$

1

$$a = \frac{(M - m)(g - a_с)}{M + m}$$

$$a = \frac{2(M - 2m)(g - a_с)}{M + 4m}$$

1

Понимание того, что, чтобы оба тела имели ускорение в одну сторону, тело, поднимающееся вверх в системе отсчета "потолок", должно иметь отрицательное ускорение в системе отсчета "Земля": $$a - a_c < 0$$

1

$$\frac{(M - m)(g - a_с)}{M + m} - a_c < 0$$

$$\frac{2(M - 2m)(g - a_с)}{M + 4m} - a_c < 0$$

1

$$a_c > \frac{(M - m)g}{2M}$$

$$a_c > \frac{2(M - 2m)g}{3M}$$

1

Рассмотрим второй случай, когда система движется с ускорением $a_{с1}$ вверх.

1

$$Ox: Mg + Ma_{с1} - T = Ma$$ $$Ox: -ma_{c1} + T - mg = ma$$

$$Ox: Mg + Ma_{с1} - 2T = \frac{Ma}{2}$$ $$Ox: -ma_{c1} + T - mg = ma$$

1

$$a = \frac{(M - m)(g + a_{с1})}{M + m}$$

$$a = \frac{2(M - 2m)(g + a_{с1})}{M + 4m}$$

1

Понимание того, что, чтобы оба тела имели ускорение в одну сторону, тело, опускающееся вниз в системе отсчета "потолок", должно иметь отрицательное ускорение в системе отсчета "Земля": $$a - a_{c1} < 0$$

Понимание того, что, чтобы оба тела имели ускорение в одну сторону, тело, опускающееся вниз в системе отсчета "потолок", должно иметь отрицательное ускорение в системе отсчета "Земля": $$\frac{a}{2} - a_{c1} < 0$$

1

$$\frac{(M - m)(g + a_{с1})}{M + m} - a_{c1} < 0$$

$$\frac{(M - 2m)(g + a_{с1})}{M + 4m} - a_{c1} < 0$$

1

$$a_{c1} > \frac{(M - m)g}{2m}$$

$$a_{c1} > \frac{(M - 2m)g}{6m}$$

1

$$a_c < a_{c1}$$

$$a_c > a_{c1}$$

1

Ответ: $a_c > \frac{(M - m)g}{2M}$

Ответ: $a_{c1} > \frac{(M - 2m)g}{6m}$

1

Итого: 16